Question

7．如圖所示，滲水井的排水管的管口，恰好是一塊底面積為0.2m²．高為0.3m的圓柱形石塊蓋嚴，滲水井中有1.5m深的水不能排放，小明站在地面上通過滑輪組將石塊提出滲水井，當石塊被提起，并在水中以v₁的速度勻速上升時，小明對繩子的拉力為F₁，小明拉繩的功率為P₁，滑輪組的機械效率為75%，當水被全部排出，石塊以v₂速度勻速豎直上升時，小明對繩子的拉力為F₂，小明拉繩的功率為P₂，已知v₁：v₂=4：3，P₁：P₂=8：9，g取10N/kg不計繩的質(zhì)量和滑輪與軸的摩擦，求：
（1）石塊未提起時，水對石塊頂部的壓力；
（2）石塊被提起，并在水中勻速上升時受到的浮力；
（3）石塊密度．

Answer 1

分析 （1）求出石塊頂部處的深度，可利用公式P=ρgh計算出水對石塊頂部的壓強，又知道石塊A的受力面積，可利用公式F=pS計算出水對石塊頂部的壓力．
（2）石塊被提起，浸沒水中，排開水的體積等于石塊的體積，利用阿基米德原理求受到的水的浮力；
（3）當石塊被提起，并在水中運動時，不計繩的質(zhì)量和滑輪與軸的摩擦，η₁=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{（G-{F}_{浮}）h}{（G-{F}_{浮}+{G}_{輪}）h}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{輪}}$，F(xiàn)₁=$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_輪），求出拉力端移動的速度，可得拉力做功功率；
當水全被排出，不計繩的質(zhì)量和滑輪與軸的摩擦，F(xiàn)₂=$\frac{1}{3}$（G+G_輪），求出拉力端移動的速度，可得拉力做功功率；
已知v₁：v₂=4：3，P₁：P₂=8：9，列方程求出G與G_輪的關(guān)系，代入效率公式求出石塊重力，利用G=mg求其質(zhì)量，再利用密度公式求石塊的密度．

解答 解：
（1）石塊頂部處的深度：
h=1.5m-0.3m=1.2m，
水對石塊頂部的壓強為：
p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1.2m=1.2×10⁴Pa，
而S=0.2m²，
水對石塊頂部的壓力：
F=pS=1.2×10⁴Pa×0.2m²=2400N；
（2）石塊被提起，浸沒水中，排開水的體積：
V_排=V=0.2m²×0.3m=0.06m³，
受到的水的浮力：
F_浮=ρ_水V_排g=1×10³kg/m³×0.06m³×10N/kg=600N，
（3）當石塊被提起，并在水中運動時，不計繩的質(zhì)量和滑輪與軸的摩擦，
η₁=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{（G-{F}_{浮}）h}{（G-{F}_{浮}+{G}_{輪}）h}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{輪}}$，-----①
F₁=$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_輪），----②
拉力端移動的速度
v_1F=3v₁，
P₁=F₁v_1F，-----③
當水全被排出，不計繩的質(zhì)量和滑輪與軸的摩擦，
F₂=$\frac{1}{3}$（G+G_輪），----④
拉力端移動的速度
v_2F=3v₂，
P₂=F₂v_2F，-----⑤
已知v₁：v₂=4：3，
v_1F：v_2F=4：3，
因為P=Fv，將③④代入得：
所以P₁：P₂=F₁v_1F：F₂v_2F=8：9，
（F₁×4）：（F₂×3）=8：9，
F₁：F₂=2：3，將②④代入得：
$\frac{1}{3}$（G-F_浮+G_輪）：$\frac{1}{3}$（G+G_輪）=2：3，
（G-F_浮+G_輪）：（G+G_輪）=2：3，
3（G-F_浮+G_輪）=2（G+G_輪），
G_輪=3F_浮-G，代入①得：
η₁=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+{G}_{輪}}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{G-{F}_{浮}+3{F}_{浮}{-G}_{\;}}$=$\frac{G-{F}_{浮}}{2{F}_{浮}}$，
75%=$\frac{G-600N}{2×600N}$，
解得G=1500N，
石塊的質(zhì)量：
m=$\frac{G}{g}$=$\frac{1500N}{10N/kg}$=150kg，
石塊的密度：
ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{150kg}{0.06{m}^{3}}$=2.5×10³kg/m³．
答：（1）石塊未提起時，水對石塊頂部的壓力為2400N；
（2）石塊被提起，在水中勻速上升時受到的浮力為600N；
（3）石塊密度為2.5×10³kg/m³．

點評 本題為力學綜合題，考查了液體壓強的計算、壓強定義式的應(yīng)用、浮力的計算、使用滑輪組拉力的計算、功率的計算等知識，難點在第三問，求出兩種情況下（石塊在水中、在空中）的拉力、速度、功率，利用題目提供的條件得出石塊重力和動滑輪重力的大小關(guān)系是關(guān)鍵．