Question

我校高中部建筑工地運(yùn)來一個(gè)邊長為a的正方體重物箱，某工人欲用一根粗細(xì)均勻的鐵棒把重物箱撬起一個(gè)很小的角度（如圖所示，圖中的角度已被放大）．已知：鐵棒單位長度受到的重力為P；重物箱受到的重力為G（重物箱的密度均勻）．工人將鐵棒的一端插入箱底，在另一端施加一個(gè)向上的力撬動(dòng)重物箱．如果插入的長度為箱寬的四分之一，并保持該長度不變，請(qǐng)你通過計(jì)算幫他分析，當(dāng)選用的鐵棒長度滿足什么條件時(shí)，施加的力最��？這個(gè)最小的力是多少？

Answer 1

分析：由題可知，鐵棒的重力提供一部分阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為

L

2

；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則一半物重提供阻力，阻力臂為

a

4

；力F提供動(dòng)力，動(dòng)力臂為L．在動(dòng)力和阻力的作用下，杠桿平衡．由杠桿的平衡條件求出關(guān)于F的表達(dá)式，則由數(shù)學(xué)知識(shí)要求得F的最小值及取最小值時(shí)L的長度．

解答：解：設(shè)鐵棒長為L，動(dòng)力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為

L

2

；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力（即只有一半的重力壓在杠桿上），阻力臂為

a

4

；力F提供動(dòng)力，動(dòng)力臂為L．由杠桿的平衡條件得
F₁L₁=F₂L₂
 

a

4

?

G

2

+LP?

L

2

=LF
解得人對(duì)杠桿的力F=

aG 8 + pL2 2

L

=

aG

8L

+

p

2

L
由數(shù)學(xué)知識(shí)a²+b²≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取最小值，可得
當(dāng)

aG

8L

=

P

2

L時(shí)，即L=

1

2

aG p

時(shí)F有最小值．
F的最小值為：F=

1

2

aGP

．
答：當(dāng)選用的鐵棒長度為L=

1

2

aG P

時(shí)，施加的力最�。贿@個(gè)最小的力是F=

1

2

aGP

．

點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于杠桿平衡條件的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是結(jié)合題意：把重物箱撬起一個(gè)接近于0°的角度，準(zhǔn)確找出阻力臂和動(dòng)力臂．由于解題時(shí)需要用到數(shù)學(xué)上的知識(shí)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目．