Question

11．如圖所示為一種蓄水箱的人工放水裝置，AOB是以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸的輕質(zhì)杠桿，AO呈水平狀態(tài)，A、O兩點(diǎn)間的距離為40cm．B、O兩點(diǎn)間的水平距離為10cm，豎直距離為7cm，K是一輕質(zhì)、橫截面積為100cm²的蓋板（恰好堵住出水口），它通過(guò)細(xì)繩與杠桿的A端相連，在水箱右側(cè)水平地面上，重為600N的人通過(guò)滑輪組拉動(dòng)系在B點(diǎn)呈豎直狀態(tài)的繩子，可以控制出水口上蓋板，若水箱水深為50cm，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，水平地面對(duì)人的支持力為490N，人對(duì)繩子的拉力為F₁，繩子對(duì)B點(diǎn)的拉力為F₂，滑輪組的機(jī)械效率為η，蓋板的厚度、繩重與滑輪間的摩擦均可忽略不計(jì)，人對(duì)繩的拉力與人所受重力在同一直線上（g取10N/kg）求：
（1）水箱中水深為50cm時(shí)．蓋板上表面所受水的壓強(qiáng)和壓力．
（2）人對(duì)繩子的拉力F₁和繩子對(duì)B點(diǎn)的拉力F₂．
（3）整個(gè)裝置的機(jī)械效率η．
（4）若與杠桿A、B兩端選接的細(xì)繩足夠結(jié)實(shí)，當(dāng)水位至少達(dá)到多高時(shí)，人將無(wú)法拉起蓋板．

Answer 1

分析 （1）已知水的深度，根據(jù)公式P=ρgh可求蓋板上表面所受水的壓強(qiáng)，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$計(jì)算蓋板上表面所受水的壓力；
（2）根據(jù)杠桿的平衡條件計(jì)算B點(diǎn)繩子的拉力；繩重與滑輪間的摩擦均不計(jì)，根據(jù)F₁=$\frac{1}{n}$F₂計(jì)算人對(duì)繩子的拉力；
（3）B、O豎直距離為7cm，由此計(jì)算A點(diǎn)上升高度，根據(jù)W_有=Fh_A計(jì)算有用功，根據(jù)W_總=F₁s=F₁nh_B，計(jì)算總功，由機(jī)械效率公式計(jì)算滑輪組的機(jī)械效率；
（4）人對(duì)繩子拉力最大等于人的重力，由此滑輪組和杠桿計(jì)算A端拉力即A受水壓力，根據(jù)壓強(qiáng)公式計(jì)算水的深度．

解答 解：
（1）水深h=50cm時(shí)，蓋板上表面所受水的壓強(qiáng)：
p=ρ_水gh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.5m=5×10³Pa，
由p=$\frac{F}{S}$得蓋板上表面所受水的壓力：F=pS=5×10³Pa×100×10^-4m²=50N；
（2）B、O兩點(diǎn)間的水平距離為10cm，
根據(jù)杠桿的平衡條件：F_AL_A=F₂L_B，
即：50N×40cm=F₂×10cm，
所以F₂=200N；
當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，水平地面對(duì)人的支持力為490N，
所以F₁=G_人-F_支=600N-490N=110N；
（3）B點(diǎn)下降，A點(diǎn)上升，如圖所示：根據(jù)三角形相似，$\frac{{h}_{A}}{{h}_{B}}=\frac{OA}{OB′}$，
即：$\frac{{h}_{A}}{7cm}$=$\frac{40cm}{10cm}$，所以h_A=28cm，
由圖滑輪組通過(guò)動(dòng)滑輪繩子的段數(shù)n=2，繩重與滑輪間的摩擦均不計(jì)，
滑輪組的機(jī)械效率：η=$\frac{{W}_{有}}{{W}_{總}(cāng)}$×100%=$\frac{F{h}_{A}}{{F}_{1}n{h}_{B}}$×100%=$\frac{50N×0.28m}{110N×2×0.07m}$×100%≈90.9%；
（4）根據(jù)F₁=$\frac{1}{2}$（F₂+G_動(dòng)），
G_動(dòng)=2F₁-F₂=2×110N-200N=20N，
人對(duì)繩子拉力最大等于人的重力，即繩子自由端拉力最大：F₁′=G_人=600N，
此時(shí)對(duì)B點(diǎn)的拉力：F₂′=2F₁′-G_動(dòng)=2×600N-20N=1180N，
根據(jù)杠桿的平衡條件：F_A′×L_A=F₂′L_B，
即：F_A′×40cm=1180N×10cm，解得F_A′=295N，
水對(duì)蓋板壓力F′=p′S=ρ_水gh′S，且F_A′=F′，
所以h′=$\frac{F′}{{ρ}_{水}gS}$=$\frac{295N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2.95m．
答：（1）水箱中水深為50cm時(shí)．蓋板上表面所受水的壓強(qiáng)為5×10³Pa，壓力為50N．
（2）人對(duì)繩子的拉力F₁為110N，繩子對(duì)B點(diǎn)的拉力F₂為200N．
（3）滑輪組的機(jī)械效率為90.9%．
（4）若與杠桿A、B兩端選接的細(xì)繩足夠結(jié)實(shí)，當(dāng)水位至少達(dá)到2.95m高時(shí)，人將無(wú)法拉起蓋板．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了壓強(qiáng)、杠桿平衡條件、機(jī)械效率的計(jì)算和平衡力的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，過(guò)程復(fù)雜，難度大，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求出A上升高度，靈活運(yùn)用F=$\frac{1}{n}$（G+G_動(dòng)）．