Question

3．如圖所示，置于水平地面上的實心均勻正方體甲、乙質(zhì)量分別為2m和m，邊長分別為2a和a．它們對地面的壓強之比為1：2，實心均勻正方體丙、丁的密度和邊長分別如表所示，若在丙或丁中選擇一個疊放在甲或乙上方中央，使上方物體對下方物體的壓強p與下方物體對地面的壓強增加量△p的比值最大，應(yīng)將丁疊放在甲上方中央．

物體	密度	邊長
丙	ρ	2a
丁	3ρ	a

Answer 1

分析 （1）物體置于水平地面上，對地面的壓力等于物體的重力，求出受力面積，利用壓強公式求出甲乙對地面的壓強，進而得出壓強之比；
（2）知道丙和丁的密度和邊長，利用G=mg=ρVg求其重力，利用壓強公式分別求出上方物體對下方物體的壓強、下方物體對地面的壓強增加量，求出比值得出答案．

解答 解：
（1）由于物體置于水平地面上，所以對地面的壓力：
F_甲=G_甲=m_甲g=2mg，
F_乙=G_乙=m_乙g=mg，
而受力面積：
S_甲=（2a）²=4a²，
S_乙=a²，
對地面的壓強：
p_甲=$\frac{{F}_{甲}}{{S}_{甲}}$=$\frac{2mg}{4{a}^{2}}$=$\frac{mg}{2{a}^{2}}$，
p_乙=$\frac{{F}_{乙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{mg}{{a}^{2}}$，
所以：p_甲：p_乙=$\frac{mg}{2{a}^{2}}$：$\frac{mg}{{a}^{2}}$1：2；
（2）由G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$得丙丁的重力：
G_丙=m_丙g=ρ_丙V_丙g=ρ×（2a）³g=8ρa³g，
G_丁g=m_丁g=ρ_丁V_丁g=3ρ×a³g=3ρa³g，
在丙或丁種選擇一個疊放在甲或乙上方中央，
為了使上方物體對下方物體的壓強p與下方物體對地面的壓強增加量△p的比值最大，則要求p最大、△p最小，
共有四種方法：

第一種情況：
p₁=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{丙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{4{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=2ρag，
△p₁=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{丙}}{4{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=2ρag，
$\frac{{p}_{1}}{△{p}_{1}}$=$\frac{2ρag}{2ρag}$=1；
第二種情況：
p₂=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{丁}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
△p₂=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{甲}}$=$\frac{{G}_{丁}}{4{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{4{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$ρag，
$\frac{{p}_{2}}{△{p}_{2}}$=$\frac{3ρag}{\frac{3}{4}ρag}$=4；
第三種情況：
p₃=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=8ρag，
△p₃=$\frac{{F}_{丙}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丙}}{{a}^{2}}$=$\frac{8ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=8ρag，
$\frac{{p}_{3}}{△{p}_{3}}$=$\frac{8ρag}{8ρag}$=1；
第四種情況：
p₄=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{丁}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
△p₄=$\frac{{F}_{丁}}{{S}_{乙}}$=$\frac{{G}_{丁}}{{a}^{2}}$=$\frac{3ρ{a}^{3}g}{{a}^{2}}$=3ρag，
$\frac{{p}_{4}}{△{p}_{4}}$=$\frac{3ρag}{3ρag}$=1；
可見，第二種情況的比值最大，即將丁疊放在甲上方中央．
故答案為：1：2；丁疊放在甲上方中央．

點評 本題考查了密度公式、重力公式、壓強公式的應(yīng)用，難點在第二問，需要定量的計算，簡單比較很容易出錯．