Question

如圖所示為一種蓄水箱的放水裝置，AOB是以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸的輕質(zhì)杠桿，AO呈水平狀態(tài)，A、O兩點(diǎn)間距離為40cm，B、O兩點(diǎn)的水平距離為10cm，B、O兩點(diǎn)的豎直距離為7cm。A點(diǎn)正下方的Q 是一個(gè)重為5N、橫截面積為200cm²的蓋板（蓋板恰好能堵住出水口），它通過細(xì)繩與杠桿的A端相連。在水箱右側(cè)的水平工作臺(tái)上，有一質(zhì)量為60kg 的人通過滑輪組拉動(dòng)系在B點(diǎn)呈豎直狀態(tài)的繩子，從而可以控制水是否能從出水口流出。若水箱中水深為50cm，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，人對(duì)繩子的拉力為F₁，工作臺(tái)對(duì)人的支持力為F_N1；若水箱中水深為100cm，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，人對(duì)繩子的拉力為F₂，工作臺(tái)對(duì)人的支持力為F_N2。已知F_N1與F_N2之比為69∶77，蓋板的厚度、繩重及滑輪的摩擦均可忽略不計(jì)，人對(duì)繩的拉力與人所受重力在同一直線上，取g=10N/kg。求：
（1）當(dāng)水箱中水深為50cm時(shí)，蓋板上表面所受水產(chǎn)生的壓強(qiáng)；
（2）人對(duì)繩子的拉力F₁的大��；
（3）若與杠桿A、B兩端連接的細(xì)繩足夠結(jié)實(shí)，而人拉滑輪組的繩子所能承受的最大拉力為330N，則為能實(shí)現(xiàn)使用圖中的裝置放水，水箱中水的最大深度不得超過多少？

Answer 1

解：
（1）蓋板上表面所受水產(chǎn)生的壓強(qiáng) P₁=ρ水gh =1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.5m =5000Pa。
（2）水深h₁=50cm時(shí)，蓋板受到水產(chǎn)生的壓力 F_Q1=P₁S=5000Pa×0.02m²=100N。
當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，受力情況如圖甲所示，根據(jù)平衡條件，可知A端繩的拉力F_A1=F_Q1+G_板，所以F_Al=105N。此時(shí)作用在杠桿A端的拉力F'_A1=F_Al=105N。作用在杠桿A端拉力的力臂l_A等于40cm； B端拉力的力臂l_B=10cm。根據(jù)杠桿平衡條件可知，此時(shí)作用在B端繩上的拉力F_B1=（l_A/l_B）·F'_A1=420N。
根據(jù)力的作用的相互性可知，此時(shí)連接B端的繩對(duì)動(dòng)滑輪C的作用力F_C1=F_Bl=420N。
設(shè)動(dòng)滑輪所受重力為G_動(dòng)，其受力情況如圖乙所示，根據(jù)平衡條件對(duì)動(dòng)滑輪應(yīng)有5F₁=F_C1+G_{動(dòng)。}此時(shí)人的受力情況如圖丙所示，因F₁=F'₁，根據(jù)平衡條件，對(duì)人有F_N1=G_人+F'₁=m_人g+（F_C1+G_動(dòng)）。
同理，當(dāng)水深h₂=100cm時(shí)，蓋板受到水產(chǎn)生的壓力F_Q2=P₂S=ρ_水gh₂S=200N 。
當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)，繩對(duì)杠桿A端繩的拉力F'_Q2=F_A2=F_Q2+G_板=205N。
此時(shí)作用在B端繩上的拉力F_B2=l_AF'_A2／l_B=820N。 作用在動(dòng)滑輪C下端的作用力F_C2=F_B2=820N。
根據(jù)平衡條件對(duì)動(dòng)滑輪應(yīng)有5F₂=F_C2+G_{動(dòng)。}
此時(shí)繩對(duì)人的拉力F'₂=F₂，所以根據(jù)平衡條件對(duì)人有F_N2=G_人+F'₂=m_人g+（F_C2+G_動(dòng)）。 
依題意知F_NI∶F_N2=69∶77，聯(lián)立可解得G_動(dòng)=30N。
所以F₁=（F_C1+G_動(dòng)）=（420N+30N）=90N。
 （3）設(shè)拉力F₃=330N時(shí)，水箱中水的最大深度為h₃時(shí)蓋板恰好能被拉起，通過上述分析可知，此時(shí)作用在動(dòng)滑輪C下端的力F_C3=5F₃－G_動(dòng)=5×330N－30N=1620N。
此時(shí)作用在杠桿A端的拉力F'_A3=l_BF_C3／l_A=405N。
根據(jù)平衡條件可知，當(dāng)蓋板恰好要被拉起時(shí)A端繩對(duì)它的拉力F_A3=F_Q3+G_板=F'_A3，因?yàn)镕_Q3=ρ_水gh₃S，所以可解得 h₃=（F_A3－G_板）／（ρ_水gS）=（405N－5N）／（1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.02m²） =2m。