在△ABC中,A、B為定點(diǎn),C為動(dòng)點(diǎn),記∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知c=2,且存在常數(shù)λ
(λ>0),使得
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡,并求其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)B作直線l與(1)中的曲線交于M,N兩點(diǎn),若OM⊥ON,試確定λ的范圍.
【答案】分析:(1)在△PAB中,由余弦定理,有22=a2+b2-2abcosC,,故點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)MN垂直于x軸時(shí),MN的方程為x=1,由題意,,由λ>0,得.當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)MN的方程為y=k(x-1).由得:[λ+(1+λ)k2]x2-2(1+λ)k2x+(1+λ)(k2-λ)=0,由題意知:λ+(1+λ)k2>0,再由韋達(dá)定理能導(dǎo)出.由此可知
解答:解:(1)在△PAB中,由余弦定理,有22=a2+b2-2abcosC,
所以,點(diǎn)P的軌跡C是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.(除去長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn))
如圖,以A、B所在的直線為x軸,以A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.
則,A(-1,0)和B(1,0).
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(y≠0).
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí),MN的方程為x=1,由題意,有M(1,1),N(1,-1)在橢圓上.
,由λ>0,得
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí),設(shè)MN的方程為y=k(x-1).
得:[λ+(1+λ)k2]x2-2(1+λ)k2x+(1+λ)(k2-λ)=0,
由題意知:λ+(1+λ)k2>0,
所以,
于是:
因?yàn)镺M⊥ON,所以,
所以,
所以,,
由λ>0得1+λ-λ2>0,解得
綜合①②得:
點(diǎn)評(píng):本題考動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程和確定λ的范圍.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍.
(1)求f(x)的周期和對(duì)稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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