Question

如圖所示，小容器A底部有一個半徑略小于R的圓洞，上面用一個半徑為R的小球蓋住，容器A內(nèi)的液體密度為ρ₁，大容器B內(nèi)的液體密度為ρ₂，兩容器液面相平，距容器A底部高為h．求小球重力G至少多大時，才能蓋住圓洞？（提示：球的體積公式為）

Answer 1

解：這里只能用浮力產(chǎn)生的原因：壓力差來求解，小球的上表面均是一個半球面，且各部分壓強都不相等，但是我們觀察下面兩個圖，液體對下半球的壓力F應該是相等的，即F₁=F₂，那么由圖中F_浮2=F₂-F^′，所以F₁=F₂=F_浮2+F^′，

同理下圖中F₃=F₄=F-F_浮1，所以小球上下面壓力差：
F₁-F₃=F_浮2+F^′-（F-F_浮1）=F_浮1+F_浮2+F^′-F
=ρ₁gπR³+ρ₂gπR³+ρ₂ghπR²-ρ₁ghπR²
=（ρ₁+ρ₂）gπR³+（ρ₁-ρ₂）ghπR²．

答：小球重力G至少等于（ρ₁+ρ₂）gπR³+（ρ₁-ρ₂）ghπR²時，才能蓋住圓洞．
分析：因為上下半球在不同液體里，所以不能直接用阿基米德原理算小球受到的浮力．可以把它拆成上下兩個半球，用密度為ρ₂的液體對球向上的壓力與密度為ρ₁的液體對球向下的壓力之差來求浮力．然后再讓浮力≤球的重力G．
點評：解答此題時要注意ρ₁、ρ₂兩種液體不是連通的，兩部分液體完全隔離，同一高度壓強可以不相同，阿基米德原理在這里不適用．