Question

如圖所示，B、C兩點相距60米，C、A兩點相距80米，AC與BC相互垂直．甲以2米/秒的速度由B點向C點運動，乙以4米/秒的速度同時由C點向A點運動．經(jīng)過

6

秒，甲、乙之間的距離最近；經(jīng)過

90

11

或12

秒，甲、乙所處位置與C點構(gòu)成的三角形和三角形ABC可能相似．

Answer 1

分析：（1）甲從B向C運動到D點，乙從C向A運動E點，構(gòu)成Rt△DCE，求出DC、CE，根據(jù)勾股定理求出DE，得到一個二次函數(shù)，當自變量為-

b

2a

時二次函數(shù)有最小值．如圖1．
（2）甲從B向C運動到D點，乙從C向A運動E點，△DCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形對應線段成比例求出甲乙的運動時間．如圖1．
甲從B向C運動到M點，乙從C向A運動N點，△CMN∽△CBA，根據(jù)相似三角形對應線段成比例求出甲乙的運動時間．如圖2．

解答：解：（1）設(shè)甲乙運動時間為t，
甲的運動速度為2m/s，乙的運動速度為4m/s，
根據(jù)速度公式得：DB=2m/s?t，CE=4m/s?t，
因為，BC=60m，所以DC=BC-BD=60m-2m/s?t，
根據(jù)勾股定理得，DE²=CD²+CE²，
設(shè)y=DE，所以，y²=（60m-2m/s?t）²+（4m/s?t）²，
整理得，y²=20t²-240t+3600，
當t=-

b

2a

=-

-(-240)

2×20

=6s時，y最小，即甲乙距離最短．
（2）①如分析中圖1：
甲從B向C運動到D點，乙從C向A運動E點，△DCE∽△ACB，
所以

DC

AC

=

CE

BC

，

60m-2m/s?t

80m

=

4m/s?t

60m

．
t=

90

11

s．
②如分析中圖2，甲從B向C運動到M點，乙從C向A運動N點，△CMN∽△CBA，
所以

CM

CB

=

CN

CA

，
CM=60m-2m/s?t，CN=4m/s?t，

60m-2m/s?t

60m

=

4m/s?t

80m

，
所以，t=12s．
故答案為：6；

90

11

或12．

點評：本題重要的考查了相似三角形和二次函數(shù)的最小值，有點像數(shù)學題，尤其是相似三角形的兩種情況，學生一般不容易考查全面，容易出現(xiàn)錯誤．