Question

5．如圖甲所示，放在水平桌面上的圓柱形容器的底面積為100cm²，裝有20cm深的水，容器的質(zhì)量為0.02kg，厚度忽略不計．A、B是由密度不同的材料制成的兩實心物塊，已知B物塊的體積是A物塊體積的$\frac{1}{8}$．當(dāng)把A、B兩物塊用細線相連放入水中時，兩物塊恰好懸浮，且沒有水溢出，如圖乙所示，現(xiàn)剪斷細線，A物塊上浮，穩(wěn)定后水對容器底的壓強變化了60Pa，物塊A有$\frac{1}{4}$體積露出水面．已知水的密度為1.0×10³kg/m³，g取10N/kg．試求：
（1）如圖甲所示，容器對水平桌面的壓強；
（2）細線被剪斷后水面的高度差；
（3）A、B兩物塊的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)V=Sh求出圓柱形容器內(nèi)水的體積，根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$求出水的質(zhì)量，容器對水平桌面的壓力等于容器和水的重力之和，根據(jù)F=G=mg求出其大小，利用p=$\frac{F}{{S}_{容}}$求出容器對水平桌面的壓強；
（2）知道剪斷細線后水對容器底的壓強變化量，根據(jù)p=ρgh求出細線被剪斷后水面的高度差；
（3）細線被剪斷后A漂浮，由物塊A有$\frac{1}{4}$體積露出水面可求排開水的體積，根據(jù)漂浮條件和F_浮=ρ_液gV_排、G=mg=ρVg得出等式即可求出A的密度；物塊A有$\frac{1}{4}$體積露出水面，則A露出水面的體積和容器內(nèi)減少水的體積相等，據(jù)此求出A的體積，進一步求出B的體積；剪斷細線前，AB兩物塊恰好懸浮，根據(jù)F_浮=ρ_液gV_排、G=mg=ρVg得出等式即可求出B物體的密度．

解答 解：（1）圓柱形容器內(nèi)水的體積：
V_水=S_容h_水=100cm²×20cm=2000cm³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1.0g/cm³×2000cm³=2000g=2kg，
容器對水平桌面的壓力：
F=G_總=（m_容+m_水）g=（0.02kg+2kg）×10N/kg=20.2N，
容器對水平桌面的壓強：
p=$\frac{F}{{S}_{容}}$=$\frac{20.2N}{100×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=2020Pa；
（2）由p=ρgh可得，細線被剪斷后水面的高度差：
△h=$\frac{△p}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{60Pa}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=6×10^-3m=0.6cm；
（3）細線被剪斷后A漂浮，物塊A有$\frac{1}{4}$體積露出水面，則V_排A=$\frac{3}{4}$V_A，
因物體漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，
所以，由F_浮=ρgV_排和G=mg=ρVg可得：
ρ_水gV_排A=ρ_AV_Ag，
則ρ_A=$\frac{{V}_{排A}}{{V}_{A}}$ρ_水=$\frac{\frac{3}{4}{V}_{A}}{{V}_{A}}$×1.0×10³kg/m³=0.75×10³kg/m³；
物塊A有$\frac{1}{4}$體積露出水面，則A露出水面的體積和容器內(nèi)減少水的體積相等，即$\frac{1}{4}$V_A=S_容△h，
則物體A的體積：
V_A=4S_容△h=4×100cm²×0.6cm=240cm³，V_B=$\frac{1}{8}$V_A=$\frac{1}{8}$×240cm³=30cm³，
剪斷細線前，AB兩物塊恰好懸浮，則
ρ_水g（V_A+V_B）=ρ_AV_Ag+ρ_BV_Bg，
B物體的密度：
ρ_B=$\frac{{V}_{A}+{V}_{B}}{{V}_{B}}$ρ_水-$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}$ρ_A=$\frac{240c{m}^{3}+30c{m}^{3}}{30c{m}^{3}}$×1.0×10³kg/m³-$\frac{240c{m}^{3}}{30c{m}^{3}}$×0.75×10³kg/m³=3×10³kg/m³．
答：（1）如圖甲所示，容器對水平桌面的壓強為2020Pa；
（2）細線被剪斷后水面的高度差為0.6cm；
（3）A物塊的密度為0.75×10³kg/m³，B物塊的密度為3×10³kg/m³．

點評 本題考查了壓強定義式和液體壓強公式、物體浮沉條件、阿基米德原理、密度公式、重力公式的綜合應(yīng)用，知道A露出水面的體積和容器內(nèi)減少水的體積相等是關(guān)鍵．