Question

16．質量相等的甲、乙兩個實心球，它們的密度之比為5：3．若將甲乙都放入水中，靜止時它們受到的浮力之比為3：4，g=10N/kg，則：
（1）甲、乙兩個球體的體積之比是多少？
（2）具體分析兩球在水中的浮沉情況；
（3）甲、乙兩個球體的密度分別是多少？

Answer 1

分析 （1）已知甲、乙兩個球體的質量相等，又知其密度之比，利用密度公式計算甲、乙兩個球體的體積之比；
（2）設甲、乙兩球體積分別為3V、5V，分兩球都漂浮、兩球都下沉、甲球漂浮乙球下沉、甲下沉乙漂浮四種情況分別進行討論；
（3）在（2）的基礎上，利用重力、密度和浮力公式列出甲下沉乙漂浮時所受浮力的表達式，又知浮力之比，可求乙的密度，再根據(jù)甲乙的密度之比，求出甲的密度．

解答 解：（1）由題知，m_甲：m_乙=1：1，ρ_甲：ρ_乙=5：3，
根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$可得V=$\frac{m}{ρ}$，則甲、乙兩個球體的體積之比為：
$\frac{{V}_{甲}}{{V}_{乙}}$=$\frac{\frac{{m}_{甲}}{{ρ}_{甲}}}{\frac{{m}_{乙}}{{ρ}_{乙}}}$=$\frac{{m}_{甲}}{{m}_{乙}}$×$\frac{{ρ}_{乙}}{{ρ}_{甲}}$=$\frac{1}{1}$×$\frac{3}{5}$=3：5；
（2）設甲、乙兩球體積分別為3V、5V．
假設兩球都漂浮時，浮力等于兩球重力，兩球質量相等，所以浮力比應是1：1，所以假設不正確．
假設兩球都下沉時，V_排=V_物，
甲下沉時受到的浮力F_浮甲=ρ_水g3V，
乙下沉時受到的浮力F_浮乙=ρ_水g5V，
則甲、乙浮力之比為$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g3V}{{ρ}_{水}g5V}$=3：5，所以假設不正確．
假設甲漂浮乙下沉，則F_浮甲=G_甲=ρ_甲g3V、F_浮乙=ρ_水g5V，
因為甲、乙兩球受到的浮力之比為3：4，
所以，$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{甲}g3V}{{ρ}_{水}g5V}$=$\frac{3}{4}$，
解得，ρ_甲=1.25×10³kg/m³大于水的密度，所以假設不正確．
故應是甲下沉乙漂�。�
（3）甲下沉時受到的浮力F_甲浮=ρ_水g3V，
乙漂浮時受到的浮F_浮乙=G_乙=ρ_乙gV_乙=ρ_乙g5V，
因為甲、乙兩球受到的浮力之比為3：4，
所以$\frac{{F}_{浮甲}}{{F}_{浮乙}}$=$\frac{{ρ}_{水}g3V}{{ρ}_{乙}g5V}$=$\frac{3}{4}$，
解得ρ_乙=0.8×10³kg/m³；
則ρ_甲=$\frac{5}{3}$ρ_乙=$\frac{5}{3}$×0.8×10³kg/m³≈1.33×10³kg/m³．
答：（1）甲、乙兩個球體的體積之比是3：5；
（2）兩球在水中的浮沉情況是甲下沉乙漂浮；
（3）甲、乙兩個球體的密度分別是1.33×10³kg/m³、0.8×10³kg/m³．

點評 本題考查阿基米德原理、物體浮沉條件，密度的計算以及密度公式的應用，涉及到的知識點較多，綜合性較強，是一道難度較大的習題．難點在（2），關鍵是對甲乙兩球在水中的浮沉情況進行分類討論．