Question

（2011?北京一模）如圖所示，電源兩端電壓保持不變，當開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到B端時，變阻器連入電路電阻為R_B，此時電流表的示數為I₁，電阻R₂的電功率為P₂，電阻R_B的電功率為P_B；當開關S₁斷開、S₂閉合時，電流表的示數為I₂，電阻R₂的電功率為P₂’．已知P₂：P₂′=49：144．求：
（1）I₁：I₂；
（2）當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在C點時，變阻器接入電路的電阻為Rc，電壓表V₁的示數為U₁，電壓表V₂的示數為U₂，電流表的示數為I₃，此時電阻R_C的電功率為P_C．已知U₁：U₂=3：8，I₂：I₃=9：7．試計算第一種狀態(tài)和第三種狀態(tài)中連入電路中的變阻器消耗的電功率之比P_B：P_C．
（請畫出相關電路狀態(tài)的等效電路圖）

Answer 1

分析：分析電路圖，得出開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到B端時，等效電路圖如圖①；當開關S₁斷開、S₂閉合時，等效電路圖如圖②；當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在某點C時，等效電路圖如圖③．
（1）由圖①②，知道P₂：P₂′=49：144，利用P=I²R求I₁：I₂；
（2）根據圖③，利用歐姆定律和U₁：U₂=3：8可出電阻關系式④（8R₁+5R_C=3R₂ ）
由圖①可知：I₁=

U

RB+R2

，由圖②可知：I₂=

U

R1+R2

，由圖③可知：I₃=

U

R1+RC+R2

，
由于I₂：I₃=9：7，利用歐姆定律可得電阻關系式⑤（2R₁+2R₂=7R_C ）
由④⑤可得電阻關系式⑥（R₂：R_C=3：1，R₁：R_C=1：2），
由于I₁：I₂=7：12，利用歐姆定律可得電阻關系式⑦（12R₁+5R₂=7R_B）
將⑥代入⑦得R_C：R_B=1：3，
由于I₁：I₂=7：12，I₂：I₃=9：7，可得∴I₁：I₃=3：4，再根據P=I²R得出P_B：P_C．

解答：解：
開關S₁閉合、S₂斷開，滑動變阻器的滑片P移到B端時，等效電路圖如圖①所示；

當開關S₁斷開、S₂閉合時，等效電路圖如圖②所示；

當開關S₁、S₂都斷開，滑動變阻器的滑片P在某點C時，等效電路圖如圖③所示；

（1）由圖①②可知：

P2

P′2

=

I 2 1 R2

I 2 2 R2

=

I 2 1

I 2 2

，
∵P₂：P₂′=49：144，
∴I₁：I₂=7：12；
（2）由圖③可知：

U1

U2

=

I3(R1+RC)

I3(RC +R2)

=

R1+RC

RC +R2

=

3

8

，
解得：8R₁+5R_C=3R₂，----------④
由圖①可知：I₁=

U

RB+R2

，
由圖②可知：I₂=

U

R1+R2

，
由圖③可知：I₃=

U

R1+RC+R2

，
∵I₂：I₃=9：7，
即

U

R1+R2

：

U

R1+RC+R2

=9：7，
解得：2R₁+2R₂=7R_C，----------------⑤
由④⑤可得：
R₂：R_C=3：1，R₁：R_C=1：2，--------------⑥
∵I₁：I₂=7：12，
即

U

RB+R2

：

U

R1+R2

=7：12，
解得：12R₁+5R₂=7R_B，----------------⑦
將⑥代入⑦得：
R_C：R_B=1：3，
∵I₁：I₂=7：12，I₂：I₃=9：7，
∴I₁：I₃=3：4，

PB

PC

=

I 2 1 RB

I 2 3 RC

=

(3)2×3

42×1

=

27

16

．
答：（1）I₁：I₂為7：12；
（2）第一種狀態(tài)和第三種狀態(tài)中連入電路中的變阻器消耗的電功率之比為27：16．

點評：本題考查了學生對歐姆定律、電功率公式、串聯(lián)電阻特點的掌握和運用，畫出三種情況下的等效電路圖是本題的突破口，確定R_C與R_B的大小關系是本題的關鍵．