Question

（2011?青島）演繹式探究--探索宇宙：
（1）牛頓認(rèn)為，宇宙中任何兩個物體之間都存在引力，引力大小F引=k

m1m2

r2

，其中m₁、m₂分別為兩個物體的質(zhì)量，r為兩個物體間的距離，k=6.67×l0^-11m³/（kg?s²）．可見，當(dāng)兩個物體間的距離增大時，它們之間的引力將變

小

．
當(dāng)我們用線繩拴著一個小球使它以手為圓心轉(zhuǎn)動時，繩子對小球有一個向圓心拉的力，這個力叫做向心力．這是小球得以繞圓心做圓周運動的條件．宇宙中的星體也是如此：
子星繞母星（衛(wèi)星繞行星，行星繞恒星）的運動可以近似地看作是勻速圓周運動（如圖），子星受到一個恒定的指向圓心（母星）的向心力，向F心=m

v2

r

心力的大小，其中m為子星質(zhì)量，v為子星繞母星勻速運動的速度，r為運動半徑（也即兩星之間的距離）．并且，向心力的大小等于母星對它的引力F_引．
（2）已知月球繞地球一周所用的時間為T，地月之間的距離為r，請你推導(dǎo)出地球質(zhì)量M的數(shù)學(xué)表達式．
（3）已知地球到太陽的距離為1.5×l0¹¹m，一年為3.2×l0⁷s，則太陽的質(zhì)量為

1.95×10³⁰

kg．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)F引=k

m1m2

r2

判斷兩個物體間的距離增大時，它們間的引力如何變化．
（2）現(xiàn)推導(dǎo)出速度v與周期T的關(guān)系，代入向心力公式，然后由萬有引力公式與向心力公式列方程，解方程即可求出地球質(zhì)量M的表達式．
（3）把已知數(shù)據(jù)代入地球質(zhì)量表達式，可求出地球質(zhì)量．

解答：解：（1）由F引=k

m1m2

r2

知：當(dāng)兩個物體間的距離增大時，它們之間的引力將變�。�
（2）向心力F心=m

v2

r

=m

( s T )2

r

=m

(2πr)2

rT2

=m

4π2r

T2

，設(shè)月球質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，
月球繞地球做圓周運動的向心力由地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供，
即：

kmM

r2

=m

4π2

T2

r，所以M=

4π2r3

kT2

．
（3）已知：r=1.5×l0¹¹m，T=3.2×l0⁷s，k=6.67×l0^-11m³/（kg?s²），
所以地球質(zhì)量M=

4π2r3

kT2

=

4×3.142×(1.5×1011m)3

6.67×l0-11m3/(kg?s2)× (3.2×107s)2

≈1.95×10³⁰kg．
故答案為：（1）�。�（2）M=

4π2r3

kT2

．（3）1.95×10³⁰．

點評：這是一道信息給予題，認(rèn)真審題，充分理解題意，由題干獲取足夠的信息是解題的關(guān)鍵．