Question

3．一水杯裝水放在冰箱冷凍室后，部分水結冰，由于冰的密度小于水的密度，所以冰全部浮在水面上，且冰面正好與杯口相平，此時水的體積剛好為總體積的一半，冰、水和杯子的總質量為110g，當冰全部熔化后，需向杯中加5ml水，水面正好與杯口相平，試求：
（1）杯的容積；
（2）空杯的質量；
（3）冰熔化前杯中水的質量．（水的密度1.0g/cm³，冰密度0.9g/cm³）

Answer 1

分析 ①當冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好與杯口相平．由此可知冰化水減小的體積為5ml．而冰化水后質量不變，可得$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=5cm³，據(jù)此求解冰的質量，利用V=$\frac{m}{ρ}$求出冰的體積，而水的體積剛好為總體積的一半，可求杯內水的體積，進而得出杯子的容積．
②利用m=ρV求冰熔化前杯中水的質量水的質量，而冰、水和杯子的總質量為110g，可求空杯的質量．

解答 解：
（1）由題知，當冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好與杯口相平，
則冰熔化為水減小的體積△V=5ml=5cm³，
因為ρ=$\frac{m}{V}$，冰熔化為水后其質量不變，
所以可得：$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$-$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{水}}$=5cm³，
即：$\frac{{m}_{冰}}{0.9g/c{m}^{3}}$-$\frac{{m}_{冰}}{1g/c{m}^{3}}$=5cm³，
解得：m_冰=45g，
則冰的體積：
V_冰=$\frac{{m}_{冰}}{{ρ}_{冰}}$=$\frac{45g}{0.9g/c{m}^{3}}$=50cm³，
因為此時水的體積剛好為總體積的一半，
所以，冰熔化前杯內水的體積：V_水=V_冰=50cm³，
杯子的容積：V=V_水+V_冰=50cm³+50cm³=100cm³；
（2）（3）由ρ=$\frac{m}{V}$可得，熔化前杯中水的質量：
m_水=ρ_水V_水=1g/cm³×50cm³=50g；
因為m_杯+m_水+m_冰=110g，
所以空杯的質量：m_杯=110g-m_水-m_冰=110g-50g-45g=15g．
答：（1）杯的容積為100cm³；
（2）空杯的質量為15g；
（3）冰熔化前杯中水的質量50g．

點評 本題考查了密度公式的應用，本題關鍵是求冰的質量，從“當冰全部熔化后，需向杯中加5ml的水，水面正好與杯口相平”得出冰化水減小的體積為5ml是本題的突破口．