Question

3．將底面半徑為2R的圓柱形薄壁容器，放在水平桌面上，把高為h、密度為ρ_木（ρ_水＞ρ_木）、半徑為R的圓柱形木塊豎直放在容器中．
求（1）注水前，木塊對容器底面的壓強(qiáng)是多大？
（2）若木塊恰好漂浮，至少注入多少質(zhì)量的水？
（3）此時形容器底面所受壓力是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)S=πR²求出木塊的底面積，根據(jù)m=ρV求出木塊的質(zhì)量，注水前，木塊對容器底面的壓力和自身的重力相等，根據(jù)F=G=mg求出其大小，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$求出木塊對容器底面的壓強(qiáng)；
（2）木塊恰好漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，此時木塊恰好沒離開容器底部，根據(jù)阿基米德原理求出排開水的體積，根據(jù)V=Sh求出水的深度，然后求出注入水的體積，利用m=ρV求出注入水的質(zhì)量；
（3）根據(jù)G=mg求出水的重力，圓柱形容器底部受到的壓力等于水和木塊的重力之和，據(jù)此進(jìn)行解答．

解答 解：（1）木塊的底面積：
S_木=πR²，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，木塊的質(zhì)量：
m_木=ρ_木V_木=ρ_木S_木h=ρ_木πR²_木h，
注水前，木塊對容器底面的壓力：
F=G_木=m_木g=ρ_木πR²hg，
木塊對容器底面的壓強(qiáng)：
p=$\frac{F}{{S}_{木}}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}hg}{π{R}^{2}}$=ρ_木hg；
（2）木塊恰好漂浮時受到的浮力和自身的重力相等，此時木塊恰好沒離開容器底部，
由F_浮=ρgV_排可得，排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{G}_{木}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}hg}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}$，
由V=Sh可得，水的深度：
h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{木}}$=$\frac{\frac{{ρ}_{木}π{R}^{2}h}{{ρ}_{水}}}{π{R}^{2}}$=$\frac{{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$，
則注入水的體積：
V_水=（S_容-S_木）h=[π（2R）²-πR²]×$\frac{{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$=$\frac{3π{R}^{2}{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，注入水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=ρ_水×$\frac{3π{R}^{2}{ρ}_{木}h}{{ρ}_{水}}$=3πR²ρ_木h；
（3）注入水的重力：
G_水=m_水g=3πR²ρ_木hg，
圓柱形容器底部受到的壓力：
F′=G_水+G_木=ρ_木πR²hg+3πR²ρ_木hg=（ρ_木+3ρ_木）πR²hg．
答：（1）注水前，木塊對容器底面的壓強(qiáng)是ρ_木hg；
（2）若木塊恰好漂浮，至少注入3πR²ρ_木h的水；
（3）此時形容器底面所受壓力是（ρ_木+3ρ_木）πR²hg．

點(diǎn)評 本題考查了壓強(qiáng)公式、物體浮沉條件、阿基米德原理、密度公式和重力公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道水平面上物體的壓力和自身的重力相等，要注意木塊恰好漂浮時受到的浮力和自身的重力相等、此時木塊恰好沒離開容器底部．