Question

6．一只電動機，接在電壓恒定的電源上．當被卡住不轉時，測得此時電功率為P₁；正常轉動時，測得電功率為P₂．試證明：若電動機轉軸處的摩擦不計，電動機正常轉動時的機械效率為η=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$．

Answer 1

分析 設出電源的電壓，當被卡住不轉時電動機為純電阻用電器，根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出電動機的電阻；當電動機正常轉動時，電動機為非純電阻用電器，根據(jù)P=UI表示出電路中的電流，根據(jù)P=I²R表示出電動機電阻消耗電能的功率，電動機消耗的電功率減去電動機電阻消耗的電功率即為獲得的機械功率，根據(jù)η=$\frac{{W}_{機械}}{{W}_{電}}$×100%得出答案．

解答 證明：設電源的電壓為U，當被卡住不轉時電動機為純電阻用電器，
由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可得電動機的電阻R=$\frac{{U}^{2}}{{P}_{1}}$，
當電動機正常轉動時，電動機為非純電阻用電器，
由P=UI可得，電路中的電流：
I=$\frac{{P}_{2}}{U}$，
電動機電阻消耗電能的功率：
P_R=I²R=（$\frac{{P}_{2}}{U}$）²R=（$\frac{{P}_{2}}{U}$）²×$\frac{{U}^{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{{{P}_{2}}^{2}}{{P}_{1}}$，
電動機正常轉動時，獲得的機械功率：
P_機械=P₂-P_R=P₂-$\frac{{{P}_{2}}^{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{{P}_{2}（{P}_{1}-{P}_{2}）}{{P}_{1}}$，
電動機正常轉動時的機械效率：
η=$\frac{{W}_{機械}}{{W}_{電}}$×100%=$\frac{{P}_{機械}t}{{P}_{電}t}$×100%=$\frac{{P}_{機械}}{{P}_{電}}$×100%=$\frac{\frac{{P}_{2}（{P}_{1}-{P}_{2}）}{{P}_{1}}}{{P}_{2}}$×100%=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$×100%，
即η=$\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}}$×100%．

點評 本題考查了電功率公式和電熱功率公式、效率公式的應用，關鍵是知道電動機卡住時為純電阻用電器、電動機正常轉動時為非純電阻用電器．