Question

9．有兩個正方體塑料塊，B的邊長為l，A的邊長是B的邊長的2倍，A的密度為0.5ρ_水，求：
（1）塑料塊A的重力；
（2）A、B分別放在水平地面時，B對地面的壓強是A對地面壓強的4.5倍，B的密度是多少？
（3）如圖所示，將B置于A上表面后放入一個水平放置、底面是正方形，其邊長是B的邊長3倍的水槽，向水槽注入多少體積水后A的底面剛好能離開水槽？

Answer 1

分析 （1）已知正方體塑料塊A的邊長，可以得到其體積；知道塑料塊A的體積和密度，根據(jù)密度公式可求出其質(zhì)量，根據(jù)G=mg求出其重力；
（2）已知兩正方體對水平地面的壓強關系，利用柱體壓強公式p=ρgh可求出B的密度；
（3）已知B正方體的邊長，可以得到其體積；知道B的密度和體積，可求出B正方體的重力；
向水槽中注水時，兩個正方體受到的浮力等于總重力時（恰好漂�。�，A的底面就能離開水槽，結(jié)合漂浮條件和阿基米德原理求出排開水的體積；
比較兩物體離開底面時排開水的體積與物體A的體積，可求出B物體浸入水中的體積；根據(jù)B物體浸入水中的體積和B的底面積，求出B浸入水的深度；
已知容器的底面積、浸入水中的總深度、排開水的總體積，可求出向水槽中注入水的體積．

解答 解：由題可知：l_A=2l，l_B=l，ρ_A=0.5ρ_水；
（1）正方體塑料塊A的體積：V_A=（l_A）³=（2l）³=8l³，
根據(jù)G=mg和ρ=$\frac{m}{V}$可得，塑料塊A的重力：
G_A=m_Ag=ρ_AV_Ag=0.5ρ_水×8l³×g=4ρ_水gl³；
（2）正方體A、B分別放在水平地面時，A對地面的壓強：
p_A=$\frac{{F}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{G}_{A}}{{S}_{A}}$=$\frac{{ρ}_{A}g{l}_{A}^{3}}{{l}_{A}^{2}}$=ρ_Agl_A；
同理可得，B對地面的壓強：p_B=ρ_Bgl_B；
已知 p_B=4.5p_A ，
所以，ρ_Bgl_B=4.5ρ_A gl_A，
則B的密度：ρ_B=4.5ρ_A$\frac{{l}_{A}}{{l}_{B}}$=4.5×0.5ρ_水×$\frac{2l}{l}$=4.5ρ_水 ；
（3）塑料塊B的體積：V_B=（l_B）³=l³，
塑料塊B的重力：
G_B=m_Bg=ρ_BV_Bg=4.5ρ_水×l³×g=4.5ρ_水gl³；
正方體A、B受到的總重力：G=G_A+G_B=4ρ_水gl³+4.5ρ_水gl³=8.5ρ_水gl³；
注水后，A的底面剛好能離開水槽時，整體處于漂浮狀態(tài)，浮力與總重力相等，
則浮力：F_浮=G=8.5ρ_水gl³，
根據(jù)F_浮=ρ_水gV_排可得，排開水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{8.5{ρ}_{水}g{l}^{3}}{{ρ}_{水}g}$=8.5l³，
因為V_A=8l³，所以V_排＞V_A，說明B物體有一部分浸入水中，
則B物體排開水的體積：V_B排=V_排-V_A=8.5l³-8l³=0.5l³，
B物體浸入水中深度：h_B浸=$\frac{{V}_{B排}}{{S}_{B}}$=$\frac{0.5{l}^{3}}{{l}^{2}}$=0.5l，
此時水的深度：h=l_A+h_B浸=2l+0.5l=2.5l，
由題意可得，容器的底面積：S=（3l）²=9l²，
由圖可知，Sh=V_水+V_排，

所以，向水槽中注入水的體積：
V_水=Sh-V_排=9l²×2.5l-8.5l³=14l³．
答：（1）塑料塊A的重力為4ρ_水gl³；
（2）B正方體的密度為4.5ρ_水 ；
（3）向水槽中注入水的體積為14l³ ．

點評 本題考查了密度公式、重力公式、壓強公式、漂浮條件和阿基米德原理的綜合應用，其中對于質(zhì)量分布均勻、粗細均勻的固體，可利用公式p=ρgh分析其產(chǎn)生的壓強；本題的難點是第3問，解答此問的關鍵是確定B物體是否浸入水中以及通過作圖的方法來幫助分析．