Question

（2012?順義區(qū)二模）如圖甲是某科技小組設計的滑輪組模型裝置．在底面積為800cm²的圓柱形容器中裝有密度為ρ₁的液體，邊長為20cm的正立方體物塊M完全浸沒在液體中勻速豎直上升時，滑輪組的機械效率為η₁；密度為ρ₂的物塊M全部露出液面后勻速豎直上升時，滑輪組的機械效率為η₂，η₁與η₂之比為8：9．滑輪的質量m_A=m_B=m_C、且m_D=2m_C，細繩的質量、滑輪與軸之間的摩擦、液體對物塊M的阻力均忽略不計，液體與物塊M的質量與體積關系的圖象如圖乙示．（g取10N/kg）（人的質量為60kg，與地面的接觸面積為300cm²）
求：
（1）物塊M離開液面后，液體對容器底部的壓強變化了多少？
（2）物塊M露出液面前人對地面的壓強P；
（3）離開液面后如果物塊M以0.1m/s的速度勻速上升時，人所提供的拉力的功率．

Answer 1

分析：先從乙圖中中讀出任意一組質量和體積值，根據密度公式求出液體和物體的密度．
（1）根據體積公式求出物塊M離開液面后液面深度的變化量，再根據液體壓強公式求出液體對容器底部壓強的變化量．
（2）分別對M完全浸沒和全部露出液面時，M、滑輪D、C和人的受力分析；根據密度公式和重力公式求出物體M的重力，根據阿基米德原理求出物體M浸沒時受到的浮力；根據力的平衡和相互作用得出等式求出繩子對物體M的拉力；然后根據滑輪組的機械效率表示出兩種情況下滑輪組的機械效率，進一步求出動滑輪的重力，代入上邊得到的等式即可求出人對滑輪組的拉力，人的重力減掉對滑輪組的拉力即為對地面的壓力，最后根據壓強公式求出物塊M露出液面前人對地面的壓強．
（3）由圖可知，繩端移動的距離為物體移動距離的6倍，即v_繩=6v_物，根據P=Fv求出離開液面后人所提供的拉力的功率．

解答：解：由圖象可知：當m₁=30g時，V₁=30cm³；當m₂=25g時，V₂=5cm³，則
ρ₁=

m1

V1

=

30g

30cm3

=1g/cm³=1×10³kg/m³，ρ₂=

m2

V2

=

25g

5cm3

=5g/cm³=5×10³kg/m³；
（1）物塊M離開液面后，容器內液面下降了：
△h=

△l3

S

=

(20cm)3

800cm2

=10cm=0.1m，
對容器底的壓強變化了：
△p=ρ₁gh=1×10³kg/m³×10N/kg×0.1m=10³Pa；
（2）M完全浸沒在液體中勻速上升時，M、滑輪D、C和人的受力情況分析如圖示；
M全部露出液面后勻速上升時，M、滑輪D、C和人受力情況分析如圖所示．

物塊M的重力：
G_M=ρ₂gL³=5×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=400N，
物塊M在液體中受到的浮力：
F_浮=ρ₁gL³=1×10³kg/m³×10N/kg×（0.2m）³=80N，
T₁=G_M-F_浮=400N-80N=320N；
3F_D1=G_D+T'₁=G_D+320N---------①
2F_C1=G_C+F_D1′---------------②
設物塊M露出液面前、后上升的高度均為h，
η₁=

T1h

T1h+GDh+GC3h

=

320N

320N+2GC+3GC

------③
T₂=G_M=400N，
3F_D2=G_D+T₂′=G_D+400N----------④
2F_C2=G_C+F_D2′----------------⑤
η₂=

T2h

T2h+GDh+GC3h

=

400N

400N+2GC+3GC

-------⑥
∵

η1

η2

=

8

9

，
聯(lián)立③⑥兩式可得：

η1

η2

=

320N 320N+5GC

400N 400N+5GC

=

8

9

，
∴解得：G_C=80N，G_D=160N，
將G_C=80N，G_D=160N分別代入以上各式可得：
F_C1=120N，F_C2=

400

3

N；
物塊M露出液面前人對地面的壓強：
p=

G人-F′C1

S人

=

60kg×10N/kg-120N

3×10-2m2

=1.6×10⁴Pa；
（3）人所提供的拉力的功率：
P=F_C2′×6V_m=

400

3

N×6×0.1m/s=80W．
答：（1）物塊M離開液面后，液體對容器底部的壓強變化了10³Pa；
（2）物塊M露出液面前人對地面的壓強為1.6×10⁴Pa；
（3）人所提供的拉力的功率為80W．

點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、阿基米德原理、滑輪組效率公式的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識求解．