Question

為了迎接黃石市第二屆礦冶文化節(jié)和第三屆國際乒乓節(jié)，某慶典公司正在調試載人熱氣球．已知載人熱氣球球內熱氣的體積為200m³，球內熱氣的密度為0.29kg/m³，球外空氣的密度為1.29kg/m³，球殼、吊籃及其裝備的總質量為120kg，吊籃里的人的質量為58kg，g取10N/kg。
（1）要使熱氣球和人能夠靜止在空中，需要在吊籃里加入多少質量的配重？（由于熱氣的體積遠大于其他部分的體積，故只考慮熱氣所受的浮力）。
（2）若氣球靜止于離地h=10m的空中，人需要沿著繩子下滑到地面．如果人以相對地的速度v₁=2m/s勻速下滑，根據反沖運動知識可知，人在下滑過程中，氣球會以v₂的速度上升，設人的質量為m，氣球的總質量（包括熱空氣、球殼、吊籃以及裝備和配重）為M，則他們的關系滿足mv₁=Mv₂，若在人著陸時，繩子的末端剛好接觸地面，求繩子的長度。
（3）氣球在上浮的過程中，空氣的浮力是否對氣球做了功？如果沒有做功，請說明理由。如果做了功，求浮力做功的功率。

Answer 1

解： （1）∵  熱氣球和人靜止在空中，
∴F_浮=G_氣+G_人+G_吊籃+G_配重，
∴ G_配重=F_浮﹣（G_氣+G_人+G_吊籃）=ρ_空氣Vg﹣（ρ_熱氣Vg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）=1.29kg/m³×200m³×10N/kg﹣（0.29kg/m³×200m³×10N/kg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）=220N，
m_配重===22kg；
（2）∵ Mg=G_氣+G_吊籃+G_配重，
即：M×10N/kg=0.29kg/m³×200m³×10N/kg+120kg×10N/kg+220N，
∴ M=200kg
由mv₁=Mv₂
得v₂=0.58m/s，
t===5s，
氣球上浮的距離s=v₂t=0.58m/s×5s=2.9m，
繩長L=h+s=10m+2.9m=12.9m；
（3）氣球在浮力的方向上移動了距離，浮力做了功，
F_浮=ρ_空氣Vg=1.29kg/m³×200m³×10N/kg=2580N，
P=F_浮v₂=2580N×0.58mm/s=1496.4W