Question

15．如圖是利用液壓起重機(jī)提升重物的示意圖，起重機(jī)工作過程中在幾個(gè)支腳M的作用下使車輪離開水平地面，在某次提升重物A的過程中，可繞D點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的吊臂BD始終保持水平方向，柱塞E始終與BD垂直且作用于吊臂的C點(diǎn)．已知起重機(jī)質(zhì)量為7×10³kg，支腳對(duì)地面的作用總面積S=0.25m²，CD=2m，BD=8m，m_A=3×10³kg．忽略吊臂、滑輪、鋼絲繩的質(zhì)量，不計(jì)摩擦，g取10N/kg，$\sqrt{2}$=1.4，求：
（1）起重機(jī)提升重物A的過程中，起重機(jī)對(duì)地面的壓強(qiáng)p；
（2）吊臂BD水平平衡時(shí)，起重機(jī)柱塞E對(duì)吊臂BD的支持力F；
（3）吊臂上升到B′D過程中，柱塞E做功W．

Answer 1

分析 （1）起重機(jī)提升重物時(shí)，對(duì)地面的壓力等于自身的重力加上重物的重力，已知受力面積，根據(jù)壓強(qiáng)定義式可求出對(duì)地面的壓強(qiáng)；
（2）根據(jù)題中條件可知，B端受到的拉力等于重物的重力，由圖示和題意可得兩力臂的大小，再利用杠桿的平衡條件可求出柱塞E對(duì)吊臂BD的支持力F；
（3）吊臂從水平位置上升到B′D過程中，重物上升的高度等于B端上升的高度，由三角函數(shù)知識(shí)可求出這一高度；忽略吊臂、滑輪、鋼絲繩的質(zhì)量，不計(jì)摩擦，柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，據(jù)此求解．

解答 解：（1）起重機(jī)的重力：G_機(jī)=m_機(jī)g=7×10³kg×10N/kg=7×10⁴N，
重物A的重力：G_A=m_Ag=3×10³kg×10N/kg=3×10⁴N，
起重機(jī)提升重物A的過程中，對(duì)地面的壓力：F_壓=G_總=7×10⁴N+3×10⁴N=1×10⁵N，
起重機(jī)對(duì)地面的壓強(qiáng)：
p=$\frac{{F}_{壓}}{S}$=$\frac{1×1{0}^{5}N}{0.25{m}^{2}}$=4×10⁵Pa；
（2）忽略吊臂、滑輪、鋼絲繩的質(zhì)量，不計(jì)摩擦，吊臂BD在水平位置平衡，
則吊臂B端受到的向下拉力為F_B=G_A=3×10⁴N，其力臂為BD=8m，
設(shè)起重機(jī)柱塞E對(duì)吊臂BD的支持力F，由圖和題意可知，支持力的力臂為CD=2m，
根據(jù)杠桿平衡條件有F_B×BD=F×CD，
則柱塞E對(duì)吊臂BD的支持力：F=$\frac{{F}_{B}×BD}{CD}$=$\frac{3×1{0}^{4}N×8m}{2m}$=1.2×10⁵N；
（3）起重機(jī)提升重物時(shí)，吊臂的轉(zhuǎn)動(dòng)情況如圖所示：

由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，吊臂B端上升的高度：
h=BD×sin45°=8m×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8m×$\frac{1.4}{2}$=5.6m，
吊臂從水平位置上升到B′D過程中，由于是通過液壓桿支撐吊臂（繩子沒有收縮），故重物上升的高度等于B端上升的高度，即重物上升高度h=5.6m；
由于忽略吊臂、滑輪、鋼絲繩的質(zhì)量，不計(jì)摩擦，
所以，柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，
則柱塞E做的功：W=G_Ah=3×10⁴N×5.6m=1.68×10⁵J．
答：（1）起重機(jī)提升重物A的過程中，起重機(jī)對(duì)地面的壓強(qiáng)p為4×10⁵Pa；
（2）吊臂BD水平平衡時(shí)，起重機(jī)柱塞E對(duì)吊臂BD的支持力F為1.2×10⁵N；
（3）吊臂上升到B′D過程中，柱塞E做功W為1.68×10⁵J．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了重力、壓強(qiáng)、杠桿平衡條件和功的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，難度較大；難點(diǎn)是第3小題，根據(jù)題中條件明確柱塞E做的功等于克服重物A的重力做的功，這是解題的關(guān)鍵之一．