Question

9．圖甲為研究勻速直線運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)裝置，一個(gè)半徑為2cm的球由于磁鐵的吸引靜止在盛水的玻璃管底，水深1m．移除磁鐵后，球在玻璃管中上升，圖乙為球在露出水面前運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系圖象，其中v₀=0.05m/s，水的密度為1.0×10³kg/m³，求：
（1）移除磁鐵前，玻璃管底受到水的壓強(qiáng)；
（2）球在玻璃管上升過程中前4s的平均速度；
（3）已知球上升時(shí)受到水的阻力與其速度的關(guān)系為f=kv，球的體積用V，水的密度用ρ₀表示，請(qǐng)推導(dǎo)球的密度表達(dá)式（用字母表示）

Answer 1

分析 （1）已知水的深度和密度，利用p=ρgh計(jì)算移除磁鐵前，玻璃管底受到水的壓強(qiáng)；
（2）利用速度公式求出4-21s球上升的距離，球的直徑，水的深度減去4-21s球上升的距離，再減去球的直徑，即為球在玻璃管上升過程中前4s上升的距離，再利用v=$\frac{s}{t}$計(jì)算球在玻璃管上升過程中前4s的平均速度；
（3）根據(jù)球4-21s時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，利用力的平衡得出球的重力、受到的阻力和浮力之間的關(guān)系，然后利用重力、密度浮力公式進(jìn)行推導(dǎo)．

解答 解：（1）移除磁鐵前，玻璃管底受到水的壓強(qiáng)：
p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1m=1×10⁴Pa；
（2）由圖可知，球在露出水面前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為21s，
根據(jù)v=$\frac{s}{t}$可得，4-21s球上升的距離：
s₀=v₀t=0.05m/s×17s=0.85m，
則球在玻璃管上升過程中前4s上升的距離：
s′=s-s₀=1m-0.85m-2×0.02m=0.11m，
所以，球在玻璃管上升過程中前4s的平均速度：
v′=$\frac{s′}{t′}$=$\frac{0.11m}{4s}$=0.0275m/s；
（3）由圖可知，球4-21s時(shí)勻速上升，受力平衡，所以有：G+f=F_浮，
根據(jù)G=mg、ρ=$\frac{m}{V}$可得G=ρVg，
又知，f=kv₀，F(xiàn)_浮=ρ₀gV，
則ρVg+kv₀=ρ₀gV，
球的密度ρ=$\frac{{ρ}_{0}gV-k{v}_{0}}{Vg}$=ρ₀-$\frac{k{v}_{0}}{Vg}$．
答：（1）移除磁鐵前，玻璃管底受到水的壓強(qiáng)為1×10⁴Pa；
（2）球在玻璃管上升過程中前4s的平均速度為0.0275m/s；
（3）球的密度表達(dá)式為ρ=ρ₀-$\frac{k{v}_{0}}{Vg}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查液體壓強(qiáng)、速度和密度的計(jì)算，難點(diǎn)在（3），關(guān)鍵對(duì)球進(jìn)行正確的受力分析，并根據(jù)力的平衡得出球的重力、受到的阻力和浮力之間的關(guān)系．