Question

11．如圖甲是一種新型吊運設備的簡化模型示意圖，圖中OC是一根以O點為支點的水平杠桿，AB表示對杠桿起固定作用且不可伸縮的纜繩，OC、AB的長度均為5m，BC的長度為1m．圖中滑輪組繩子的自由端由額定電壓為220V的電動機拉動，定滑輪的軸和電動機均固定在B點． 
在一次作業(yè)中，該吊運設備勻速豎直提升重為1000N物體，此時滑輪組的機械效率為80%，電動機做的功跟時間的變化關系如乙圖所示．不考慮杠桿的質量、滑輪組繩子的質量、滑輪與軸和繩子間的摩擦．


（1）求第一次作業(yè)中物體勻速上升的速度為0.24m/s，繩子自由端的拉力為312.5N．
（2）第一次作業(yè)中，電動機每分鐘產(chǎn)生1800J的熱量，10s內電動機將物體提升到所需高度，則電動機所做的總功是3300J．
（3）第二次作業(yè)中，利用該設備以相同的速度勻速提升重為2000N的物體，滑輪組的機械效率、電動機的輸出功率分別用η₂、P₂表示，若第一次作業(yè)中滑輪組的機械效率、電動機的輸出功率分別用η₁、P₁表示，則η₂＞η₁（選填“＞”、“＜”或“=”），$\frac{{P}_{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{9}{5}$．
（4）兩次作業(yè)中纜繩AB的拉力變化了2000N，纜繩AB拉力的力臂為2m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象求出電動機做功的功率，根據(jù)滑輪組的機械效率求出有用功率，又知道重物的重力即可利用P=Gv求出物體上升的速度；
由圖可知：滑輪組的繩子股數(shù)n=4，繩子自由端的速度v′=nv，根據(jù)W=Fv′求出拉力；
（2）求出電動機工作10s做的有用功，知道10s產(chǎn)生的熱量，可求電動機消耗的電能W=W_機+W_熱；
（3）不考慮杠桿的質量、滑輪組繩子的質量、滑輪與軸和繩子間的摩擦，根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Gh+{G}_{動}h}$=$\frac{G}{G+{G}_{動}}$得出效率關系；在第一次作業(yè)中，拉力F₁=$\frac{1}{4}$（G₁+G_輪），求出G_輪，W_有用1=G₁h，W_有用2=G₂h，
額外功W_額=G_輪h，可求總功，再利用P=$\frac{W}{t}$功率，進而求出功率之比；
根據(jù)W=Gh可知W_有用2＞W(wǎng)_有用1，而額外功相同，所以W_總2＞W(wǎng)_總1，由于以相同的速度勻速提升重為2000N的物體，則所用時間相同，根據(jù)P=$\frac{W}{t}$可知功率大小關系；
（4）根據(jù)杠桿平衡條件列出兩次平衡的等式，結合拉力之差為2000N，即可求出拉力的力臂．

解答 解：
（1）由圖象可知，t=5s時，W=1500J，則電動機做功的功率：
P_總=$\frac{W}{t}$=$\frac{1500J}{5s}$=300W，
由η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{總}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$得：P_有用=P_總η=300W×80%=240W，
由P_有用=Gv_物可得，物體上升的速度：
v_物=$\frac{{P}_{有用}}{G}$=$\frac{240W}{1000N}$=0.24m/s，
由圖可知，n=4，繩子自由端的速度：v=nv_物=4×0.24m/s=0.96m/s，
由P_總=Fv得拉力：
F₁=$\frac{{P}_{總}}{v}$=$\frac{300W}{0.96m/s}$=312.5N；
（2）電動機工作10s對物體所做的機械功：W_機=P_總t=300W×10s=3000J，
10s產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{10}{60}$×1800J=300J，
則電動機消耗的電能：W=W_機+W_熱=3000J+300J=3300J；
（3）不考慮杠桿的質量、滑輪組繩子的質量、滑輪與軸和繩子間的摩擦，
根據(jù)機械效率公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{Gh}{Gh+{G}_{動}h}$=$\frac{G}{G+{G}_{動}}$可知：
當G₂＞G₁時，η₂＞η₁；
在第一次作業(yè)中，拉力F₁=$\frac{1}{4}$（G₁+G_輪）=312.5N；
所以動滑輪的重：G_輪=4F₁-G₁=4×312.5N-1000N=250N，
則在第二次作業(yè)中，拉力F₂=$\frac{1}{4}$（G₂+G_輪）=$\frac{1}{4}$×（2000N+250N）=562.5N，
兩次提升的速度相同，電動機的輸出功率即拉力做功的功率，
根據(jù)P=Fv可得，電動機的輸出功率之比：
$\frac{{P}_{2}}{{P}_{1}}$=$\frac{{F}_{2}v}{{F}_{1}v}$=$\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}$=$\frac{562.5N}{312.5N}$=$\frac{9}{5}$；
（4）如圖，拉力力臂為L₁，

不考慮杠桿的質量、繩子的質量、滑輪與軸和繩子間的摩擦，
勻速提升重為1000N的物體時，L₂=OC-BC=5m-1m=4m，F(xiàn)₂=G₁+G_輪+G_電動機，
根據(jù)杠桿平衡條件F₁L₁=F₂L₂得：
F₁L₁=（G₁+G_輪+G_電動機）×4m，---①
勻速提升重為2000N的物體時，F(xiàn)₁′=F₁+2000N（由題意可得），F(xiàn)₂′=G₂+G_輪+G_電動機，
根據(jù)杠桿平衡條件F₁′L₁=F₂′L₂得：
（F₁+2000N）L₁=（G₂+G_輪+G_電動機）×4m，---②
②-①得：2000N×L₁=（2000N-1000N）×4m，
解得：L₁=2m．
故答案為：（1）0.24；312.5；（2）3300J；（3）＞；$\frac{9}{5}$；（4）2．

點評 本題為力學綜合題，考查了功率公式、效率公式、杠桿平衡條件的應用，要求認真審題，從中得出相關信息，靈活運用相關公式是關鍵，難度較大．