Question

如圖是某港口卸載貨物的簡易裝置示意圖．該裝置由懸掛機構、提升裝置和行走裝置三部分組成．懸掛機構由固定桿OF和杠桿BD構成，O為杠桿DB的支點．配重E通過繩子豎直拉著杠桿D端，行走裝置K安裝在杠桿DB上，電動機Q可以使其沿BO水平滑動，行走裝置和提升電動機及定滑輪的總質量m_K是動滑輪質量的2.5倍．當行走裝置處于杠桿DB上M點的位置時，提升電動機拉動繩子，通過滑輪組豎直打撈落入水中的貨物A．A完全在水中勻速上升的過程中，提升電動機繩子的拉力為F₁，滑輪組的機械效率為η₁=87.5%，OD：OM=1：2，地板對配重E的支持力為N₁；A全部露出水面勻速豎直上升的過程中，提升電動機繩子的拉力為F₂，滑輪組的機械效率為η₂，當A靜止后，電動機Q啟動，水平向左拉動行走裝置至點C（圖中未標出），使物體靜止在海岸上方，以方便卸載貨物，此時OD：OC=5：2，地板對配重E的支持力為N₂．滑輪組提升A的過程中，行走裝置受到的水平拉力始終為零，杠桿DB在水平位置平衡．已知提升電動機輸出功率恒定，A在水中與出水后勻速運動速度v₁：v₂=5：4，A的體積是配重E的體積的2倍，配重E的金屬密度是物體A的密度的6倍，細繩和杠桿的質量、滑輪與軸的摩擦、水對物體的阻力均忽略不計，g取10N/kg．求：
（1）打撈前后提升電動機繩子的拉力F₁與F₂的比值；
（2）貨物A打撈出水后的機械效率η₂；
（3）貨物A出水前后地板對配重E的支持力N₁與N₂的比值．

Answer 1

解：（1）電動機輸出功率恒定，∴F₁3v₁=F₂3v₂，其中v₁：v₂=5：4，
∴F₁：F₂=4：5
（2）當物體A完全在水中時，對行走裝置、電動機、定滑輪進行受力分析，如圖1所示，對E進行受力分析，如圖2所示，對杠桿進行受力分析，如圖3所示：

則：F_M1′=G_K+3F₁，N₁+F_D1′=G_E，F_D1?OD=F_M1?OM，
其中F_M1′=F_M1，F_D1′=F_D1，η₁=87.5%，OD：OM=1：2，
F₁=（G_動+G_A-F_浮）
η₁=
當物體A在水外時，對行走裝置、電動機、定滑輪進行受力分析，如圖4所示，對E進行受力分析，如圖5所示，對杠桿進行受力分析，如圖6所示：

則：F_C2′=m_Kg+3F₂，F_D2′+N₂=GE，F_D2?OD=F_C2?OC，
其中F_C2′=F_C2，F_D2′=F_D2，OD：OC=5：2，
且：V_A=2V_E，ρ_E=6ρ_A，得G_E=3G_A，F₁：F₂=4：5，得：
G_A=9G_動，F_浮=2G_動，
∴η₂=×100%=×100%=×100%=90%；
（3）由（2）中關系式知，
（G_E-N₁）OD=（G_K+3F₁）OM，
（G_E-N₂）OD=（G_K+3F₂）OC，
OD：OM=1：2，OD：OC=5：2，G_A=9G_動，F_浮=2G_動，
F₁=（G_A-F_浮+G_動），F₂=（GA+G_動）
則N₁=6G_動，N₂=22G_動
∴N₁：N₂=6：22=3：11
答：（1）打撈前后提升電動機繩子的拉力F₁與F₂的比值是4：5；
（2）貨物A打撈出水后的機械效率是90%；
（3）貨物A出水前后地板對配重E的支持力N₁與N₂的比值是3：11．
分析：（1）根據電動機輸出功率恒定及A在水中與出水后勻速運動速度v₁：v₂=5：4進行分析，其中P===Fv，因為由3段繩子承擔物重，繩端速度是物體上升速度的3倍；
（2）對物體A在水中和在水外時對物體E、行走裝置及杠桿進行受力分析，并列出相等的關系式，結合已知條件得出浮力及A的重力與動滑輪之間的關系，代入公式η=×100%=×100%，求出η2，注意其中的關系F1=（GA-F浮+G動），F2=（GA+G動）．
（3）由杠桿平衡條件列出2個關系式，結合（2）中的分析得出N1、N2與動滑輪重力的關系，求出其比值．
點評：本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、功率公式、效率公式、杠桿平衡條件的掌握和運用，知識點多、綜合性強，要求靈活運用所學知識，畫出受力示意圖幫助解題是本題的關鍵．