Question

2．圓柱形容器中盛有水，將一質(zhì)量為0.8kg的正方體物塊放入容器中，液面上升了1cm．此時(shí)正方體物塊有一半露出水面．（已知容器的橫截面積與正方體橫截之比為5：1，g取10N/kg，容器壁厚不計(jì)．）求：
（1）物塊的邊長(zhǎng)．
（2）物塊的密度．
（3）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加多少水，才能使物塊對(duì)容器底的壓強(qiáng)為零？

Answer 1

分析 （1）容器內(nèi)水的體積加上正方體物塊一半的體積等于后來(lái)水的深度乘以容器的底面積，據(jù)此求出正方體的邊長(zhǎng)；
（2）根據(jù)求得的物塊的邊長(zhǎng)可求體積，已知質(zhì)量，利用ρ=$\frac{m}{V}$可求物塊的密度；
（3）物塊對(duì)容器底的壓強(qiáng)為零時(shí)，處于漂浮狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，根據(jù)阿基米德原理求出排開(kāi)水的體積，根據(jù)V=Sh求出液面上升的高度，進(jìn)一步求出需加的水的體積，然后可求水的質(zhì)量．

解答 解：（1）設(shè)容器的橫截面積為S₂，正方體的橫截面積為S₁，正方體的邊長(zhǎng)為a，容器內(nèi)水的深度為h_水，放入物體后的深度（h_水+1cm），則
h_水S₂+$\frac{1}{2}$a×S₁=（h_水+1cm）S₂，
整理可得：
a=$\frac{2{S}_{2}}{{S}_{1}}$×1cm=$\frac{2×5{S}_{1}}{{S}_{1}}$×1cm=10cm，
（2）物塊的體積V=a³=（10cm）³=1.0×10³m³，
物塊的密度ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{0.8kg}{1.0×1{0}^{3}{m}^{3}}$=0.8×10³kg/m³；
（3）物塊對(duì)容器底的壓強(qiáng)為零時(shí)，處于漂浮狀態(tài)，
則F_浮=G=mg=0.8kg×10N/kg=8N，
物塊排開(kāi)水的體積：
V_排=$\frac{{F}_{浮}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{8N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=8×10^-4m³，
液面上升的高度：
△h=$\frac{{V}_{排}}{{S}_{1}}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{8×1{0}^{-4}{m}^{3}}{0.01{m}^{2}}$-$\frac{10cm}{2}$=0.08m-5cm=8cm-5cm=3cm，
需加的水的體積：
V_水=（S₂-S₁）△h=（5S₁-S₁）△h=4S₁△h=4×100cm²×3cm=1200cm³=1.2×10^-3m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$可得，需要加水的質(zhì)量m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.2×10^-3m³=1.2kg．
答：（1）物塊的邊長(zhǎng)為10cm；
（2）物塊的密度為0.8×10³kg/m³；
（3）若再緩緩向容器中注入水，至少需要加1.2kg水，才能使物塊對(duì)容器底的壓強(qiáng)為零．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了壓強(qiáng)和液體體積的計(jì)算，涉及到阿基米德原理和壓強(qiáng)公式、重力公式的應(yīng)用，要注意物塊對(duì)容器底的壓強(qiáng)為零時(shí)可認(rèn)為物塊沒(méi)離開(kāi)容器的底部．