Question

15．如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）平拋運(yùn)動(dòng)水平方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，在豎方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度的大小等于近星面運(yùn)行的速度．根據(jù)萬(wàn)有引力提供的向心力求出第一宇宙速度的大�。�

解答 解：（1）小球落在斜面上，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，
所以，g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）因?yàn)槿f(wàn)有引力等于重力，所以G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
則該星球的質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：G $\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
該星球的第一宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{G\frac{g{R}^{2}}{G}}{R}}$=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．
答：（1）該星球表面的重力加速度g=$\frac{2{v}_{0}tana}{t}$．
（2）該星球的第一宇宙速度 v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}Rtana}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)結(jié)論，并能靈活運(yùn)用．