Question

14．如圖所示，由電阻組成的長鏈有無數(shù)個結點，第一個結點有阻值為R的兩個電阻，第二個結點有阻值為2R的兩個電阻，第三個結點有阻值為4R的兩個電阻，如此下去…下一個結點的電阻總是前一個結點電阻的2倍，那么測量A、B間的電阻值應為多少？

Answer 1

分析 因為是無限網(wǎng)格，所以若去掉第一個個網(wǎng)格，后面的網(wǎng)格電阻正好是前面的2倍，由此根據(jù)串、并聯(lián)電阻特點計算AB間電阻．

解答 解：
設R_AB=x
去掉第一個節(jié)點，后面的無窮網(wǎng)絡正好是原來的兩倍，電阻是2x，
x=R+$\frac{2x•R}{（2x+R）}$
化簡可得：
2x²-3Rx-R²=0
由一元二次方程的求根公式可得：x=$\frac{3R±\sqrt{（-3R）^{2}-4×2×（-{R}^{2}）}}{2×2}$
則：x₁=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$，
x₂=$\frac{（3-\sqrt{17}）R}{4}$（因為電阻不會為負數(shù)，故根舍去），
所以R_AB=$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．
答：A、B間的電阻值應為$\frac{（3+\sqrt{17}）R}{4}$．

點評 本題考查無窮網(wǎng)格電阻的計算，關鍵是對無窮網(wǎng)格化簡．