Question

18．金屬實心圓柱體甲的密度為2.0×10³千克/米³，底面積為1×10^-2米²、高為0.3米，底面積為2×10^-2米²、高為0.5米的薄壁圓柱形容器乙放在水平地面上，容器內盛有水，水深0.4米．g=10N/kg，求：
（1）甲的質量m_甲；
（2）水對乙容器底部的壓強p_水；
（3）若用彈簧測力計掛著甲逐漸浸入乙容器中水的過程中，對比浸入之前，求容器對水平地面壓強增加量△p_容器的變化范圍；
（4）若用彈簧測力計掛著甲逐漸浸入乙容器中水的過程中，對比浸入之前，求水對乙容器底部壓強增加量△p_水的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）已知物體的密度，利用V=Sh可求體積，根據公式m=ρV可求其質量；
（2）已知水深h=0.4m，利用p=ρgh即可求出水對乙容器底部的壓強．
（3）甲未浸入水中，容器對水平地面的壓力最小，利用壓強公式求容器對水平地面的最小壓強；若將甲浸沒在乙容器的水中，水未溢出，容器對水平地面的壓力最大，利用壓強公式求容器對水平地面的最大壓強；可得容器對水平地面壓強增加量的變化范圍；
（4）甲未浸入水中，水對容器底壓強最��；將甲浸沒在乙容器的水中，水未溢出，水對容器底的壓強最大；利用液體壓強公式求出，可得水對乙容器底部壓強增加量的變化范圍．

解答 解：（1）甲的體積V_甲=Sh=1×10^-2m²×0.3m=0.003m³，
由ρ=$\frac{m}{V}$，可得甲的質量：
m_甲=ρ_甲V_甲=2×10³kg/m³×0.003m³=6kg．
（2）p_水=ρ_水gh_水=1×10³kg/m³×10N/kg×0.4m=4000Pa．
（3）容器的容積V_容=S_容h_容=2×10^-2m²×0.5m=0.01m³，
容器內水的體積V_水=S_容h_水=2×10^-2m²×0.4m=0.008m³，
甲的體積V_甲=0.003m³，
可見將甲浸沒水中，會有水溢出，當剛好不溢出水時，容器對桌面的壓力最大、壓強最大；
由題知，容器是薄壁圓柱形容器，重力可以忽略不計，
水的重力：
G_水=m_水g=ρ_水gV_水=ρ_水gS_容h_水=1×10³kg/m³×10N/kg×0.008m³=80N，
甲未浸入水中，容器對水平地面的壓力最小，p_最小=G_水=80N，
最小壓強：
p_最小=$\frac{{F}_{最小}}{{S}_{容}}$=$\frac{80N}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=4000Pa；
甲浸入水時，水剛好不溢出，容器對水平地面的壓力最大，
此時V_排=V_容-V_水=0.01m³-0.008m³=0.002m³，
甲的重力：
G_甲=m_甲g=6kg×10N/kg=60N，
甲受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1×10³kg/m³×10N/kg×0.002m³=20N，
彈簧測力計的示數：
F_示=G_甲-F_浮=60N-20N=40N，
容器對水平地面的壓力：
F_最大=G_甲+G_水-F_示=60N+80N-40N=100N，
最大壓強：
p_最大=$\frac{{F}_{最大}}{{S}_{容}}$=$\frac{100N}{2×1{0}^{-2}{m}^{2}}$=5000Pa；
所以容器對水平地面壓強增加量△p_容器的變化范圍為0～1000Pa；
（4）甲未浸入水中，水對容器底壓強最小，由（2）可知p_最小′=4000Pa；
甲浸入水時，水剛好不溢出，水對容器底壓強最大，
p_最大′=ρ_水gh_容=1×10³kg/m³×10N/kg×0.5m=5000Pa．
水對乙容器底部壓強增加量的變化范圍為0～1000Pa．
答：（1）甲的質量為6kg；
（2）水對乙容器底部的壓強為4000Pa；
（3）若用彈簧測力計掛著甲逐漸浸入乙容器中水的過程中，對比浸入之前，容器對水平地面壓強增加量的變化范圍為0～1000Pa；
（4）若用彈簧測力計掛著甲逐漸浸入乙容器中水的過程中，對比浸入之前，求水對乙容器底部壓強增加量的變化范圍為0～1000Pa．

點評 本題為力學綜合題，考查了學生對重力公式、密度公式、液體壓強公式和壓強定義式的掌握和應用，解題時注意當圓柱體全浸入水時水會溢出，易錯點！