Question

6．質(zhì)量分布均勻，形狀規(guī)則的物體的重心，就在它的幾何中心上，如果是形狀不規(guī)則的物體，例如湯匙，可將其放在手指上，仔細(xì)調(diào)節(jié)支撐湯匙的支點位置，使其在手指上平衡，這時就可知道湯匙的重心就在支點上方．如圖15所示，現(xiàn)有一個質(zhì)量分布均勻且有一定厚度，半徑為R的圓盤，緊貼其邊緣截下一半徑為r的小圓盤，且R=3r．求：截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是多少？

Answer 1

分析 利用挖補(bǔ)法分析重心的位置．根據(jù)題意可知挖去的小圓盤面積為大圓盤面積的$\frac{1}{9}$，假設(shè)將挖去的小圓盤可補(bǔ)上，在原重心處可以將物體支撐起來，運用杠桿的平衡條件列式解答．

解答 解：
根據(jù)題意，大圓盤的圓心和小圓盤的圓心以及剩余部分的重心應(yīng)該在大圓盤的一條直徑上．挖去小圓盤后，由于大部分質(zhì)量分布在右側(cè)，剩余部分的重心在大圓盤圓心O點的右側(cè)位置．因為R=3r，由圓的面積公式可知，所以割去的小圓盤面積為大圓盤面積的$\frac{1}{9}$，所以挖去的小圓盤的重力是大圓盤的重力的$\frac{1}{9}$；設(shè)完整大圓盤的質(zhì)量為m千克，挖去小圓盤后，圓的重心將從O點向右移動x；假設(shè)將挖去的小圓盤可補(bǔ)上，在原重心O處可以將物體支撐起來，根據(jù)杠桿的平衡條件可得：$\frac{1}{9}$mg•（R-r）=（1-$\frac{1}{9}$）mg•x，解得：x=$\frac{1}{4}$r．即截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是$\frac{1}{4}$r．
答：截下小圓盤后，剩余部分的重心到大圓盤圓心O的距離是$\frac{1}{4}$r．

點評 此題有一定的難度，本題要明確重心的定義，規(guī)則物體的重心在其幾何中心處；還要會利用挖補(bǔ)法分析重心的位置，巧妙運用杠桿的平衡條件是解題關(guān)鍵．