Question

1．如圖1所示，置于水平地面的薄壁容器上面部分為正方體形狀，邊長l₁=4cm，下面部分也為正方體形狀，邊長l₂=6cm，容器總質(zhì)量m₁=50g，容器內(nèi)用細線懸掛的物體為不吸水的實心長方體，底面積S_物=9cm²，下表面與容器底面距離l₃=2cm，上表面與容器口距離l₄=1cm，物體質(zhì)量m₂=56.7g．現(xiàn)往容器內(nèi)加水，設(shè)水的質(zhì)量為M，已知ρ_水=1.0×10³kg/m³，g=10N/kg．

（1）當M=58g時，水面還沒有到達物體的下表面，求此時容器對水平地面的壓強；
（2）當M=194g時，求水對容器底部的壓力；
（3）當0≤M≤180g時，求出水對容器底部的壓力F隨M變化的關(guān)系式，并在圖2中作出F-M圖象．

Answer 1

分析 （1）當水面還沒有到達物體的下表面時，此時水可看做是柱體，此時容器對水平地面的壓力等于M和容器的總重力，再根據(jù)p=$\frac{F}{S}$可求此時容器對水平地面的壓強．
（2）首先求出物體m₂的密度，再根據(jù)ρ=$\frac{m}{V}$求出水的體積，再根據(jù)題意判斷物體是否完全漂浮，再求出水的深度，根據(jù)p=ρgh求出水對容器底的壓強，再根據(jù)p=$\frac{F}{S}$求出水對容器底部的壓力．
（3）根據(jù)公式p=ρgh求出當水面恰好達到物體下表面時，水對容器底的壓力，即水的重力；
再求出注入180g水時，水面的深度，根據(jù)F=pS=ρghS求出水對容器底的壓力．再畫出圖象．

解答 解：（1）當M=58g時，水面還沒有到達物體的下表面，此時水可看做是柱體，
此時容器對水平地面的壓力F=G=（M+m₁）g=（0.058kg+0.05kg）×10N/kg=1.08N，
容器的底面積S₁=6cm×6cm=36cm²=3.6×10^-3m²，
此時容器對水平地面的壓強p=$\frac{F}{{S}_{1}}$=$\frac{1.08N}{3.6×1{0}^{-3}{m}^{2}}$=300Pa；
（2）物體高度h=（4cm+6cm）-1cm-2cm=7cm，
物體體積V=Sh=9cm²×7cm=63cm³，
物體密度ρ=$\frac{{m}_{2}}{V}$=$\frac{56.7g}{63c{m}^{3}}$=0.9g/cm³=0.9×10³kg/m³，小于水的密度，物體在水里應(yīng)處于漂浮狀態(tài)；
由ρ=$\frac{m}{V}$得：
注入水的體積V=$\frac{m}{ρ}$=$\frac{194g}{1g/c{m}^{3}}$=194cm³，
容器下方正方體能夠注水的體積：V_下=6cm×6cm×6cm-9cm²×（6cm-2cm）=180cm³，
所以容器中上方正方體中水的體積V_上=V-V_下=194cm³-180cm³=14cm³，
容器中上方正方體中水的深度h′=$\frac{{V}_{上}}{{S}_{上}-{S}_{物}}$=$\frac{14c{m}^{3}}{4cm×4cm-9c{m}^{2}}$=2cm，
物體浸入水中的深度h″=（6cm-2cm）+2cm=6cm，
如果物體完全漂浮，F(xiàn)_浮=G，即ρ_水gV_排=ρgV，所以$\frac{{V}_{排}}{V}$=$\frac{ρ}{{ρ}_{水}}$=$\frac{0.9g/c{m}^{3}}{1g/c{m}^{3}}$=$\frac{9}{10}$=$\frac{{h}_{浸}}{h}$=$\frac{{h}_{浸}}{7cm}$，
解得h_浸=6.3cm，所以物體不會完全漂浮起來，
容器中的水深h_水=h_下+h′=6cm+2cm=8cm，
水對容器底的壓強p=ρ_水gh_水=1×10³kg/cm³×10N/kg×0.08m=800Pa，
由p=$\frac{F}{S}$得：
水對容器底的壓力F=pS₁=800Pa×3.6×10^-3m²=2.88N；
（3）當水面恰好達到物體下表面時，水的體積V=6cm×6cm×2cm=72cm³，
水的質(zhì)量m=ρV=1×10³kg/m³×7.2×10^-5m³=7.2×10^-2kg，
當水的質(zhì)量0g＜M≤72g時，液體對容器底的壓力等于水的重力F=G=mg=7.2×10^-2kg×10N/kg=72×10^-2N，是一個正比例函數(shù)，做出圖象；
當注入180cm3的水時，根據(jù)上面第二問中的計算可知，此時恰好把下面的正方體注滿水，此時水的深度為6cm，
此時水對容器底的壓力F′=pS=ρghS=1×10³kg/m³×10N/kg×0.06m×3.6×10^-3m²=216×10^-2N．
當水的質(zhì)量72g＜M≤180g時，關(guān)系式F′=pS=ρghS=ρgh（S_水+S_物）=m_水+ρghS_物，它是一個一次函數(shù)，圖象是一條直線．
故圖如下所示：

答：（1）容器對水平地面的壓強300Pa；
（2）水對容器底部的壓力2.88N；
（3）如上圖．

點評 此題主要考查的是學(xué)生對密度、壓強、重力、浮力計算公式的理解和掌握，弄清楚物體在水中所占的體積是解決此題的關(guān)鍵，特別是第三問要分段討論，找出關(guān)系式有一定難度，此題難度很大．