Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，2)，連接AB. 若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線(xiàn)段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ≤1，則稱(chēng)點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”．

(1)在點(diǎn)C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”是__________；

(2)若點(diǎn)M(m，n)在直線(xiàn)上，且是線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”，求m的取值范圍；

(3)若直線(xiàn)上存在線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)C、D ；(2)0≤m≤；(3).

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”的定義解答即可；

(2)設(shè)與y軸交于M，與A2B2交于N，求出M的坐標(biāo)和N的坐標(biāo)，即可得出m的取值范圍．

(3)分別求出直線(xiàn)與半圓A相切、半圓B相切時(shí)b的值，即可得到結(jié)論．

(1)∵A(1，2)，C(0，2)，∴AC=1．

∵A(1，2)在線(xiàn)段AB上，∴點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”；

∵點(diǎn)離線(xiàn)段AB上（2,2）點(diǎn)最近，2-=＜1，∴點(diǎn)D是線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”；

∵E(4，1)與線(xiàn)段AB上點(diǎn)B的距離最近，EB=＞1，∴點(diǎn)E不是線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”．

故線(xiàn)段AB的“臨近點(diǎn)”是C、D ．

(2)如圖，設(shè)與y軸交于M，與A2B2交于N，易知M(0，2)，∴m≥0，易知N的縱坐標(biāo)為1，代入，可求橫坐標(biāo)為，∴m≤，∴0≤m≤．

(3)如圖2，設(shè)直線(xiàn)為l，令y=0，得：x=b．當(dāng)直線(xiàn)與半圓A相切時(shí)，過(guò)A作AF⊥直線(xiàn)l于F，作AH⊥x軸于H，交直線(xiàn)l于點(diǎn)R，則∠FAR=∠RGH=30°．

∵A(1，2)，∴OH=1，AH=2．

∵AF=1，∠FAR=30°，∴AR=，∴RH=AH-AR=2-．

在Rt△RHG中，∵∠RGH=30°，∴HG=RH．

∵HG=OG-OH=，∴=，解得：；

當(dāng)直線(xiàn)與半圓B相切時(shí)，類(lèi)似可求：；

∴．