Question

（2013?昌平區(qū)一模）某科技小組設(shè)計(jì)的提升重物的裝置如圖甲所示．圖中水平桿CD與豎直桿EH、DI組合成支架固定在水平地面上．小亮站在地面上通過滑輪組提升重物，滑輪組由動(dòng)滑輪P和動(dòng)滑輪Q（動(dòng)滑輪P和動(dòng)滑輪Q的質(zhì)量相等）以及安裝在水平桿CD上的兩個(gè)定滑輪組成．小亮以拉力F₁勻速豎直提升物體A的過程中，物體A的速度為υ₁，滑輪組的機(jī)械效率為η_A．小亮以拉力F₂勻速豎直提升物體B的過程中，物體B的速度為υ₂，滑輪組的機(jī)械效率為η_B．拉力F₁、F₂做的功隨時(shí)間變化的圖象分別如圖23乙中①、②所示．已知：υ₁=4υ₂，物體A和物體B的質(zhì)量之比為1：3，（不計(jì)繩的質(zhì)量，不計(jì)滑輪與軸的摩擦）求：
（1）動(dòng)滑輪P的重力與物體B的重力之比；
（2）機(jī)械效率η_B與η_A之比．

Answer 1

分析：（1）對(duì)物體及滑輪組進(jìn)行受力分析，由平衡條件及滑輪組公式求出動(dòng)滑輪與物體重力之比．
（2）有用功與額外功的和是總功，由功的公式求出有用功與總功，然后由效率公式求出效率，最后求出效率之比．

解答：解：設(shè)每個(gè)動(dòng)滑輪受的重力為G_動(dòng)．勻速提升物體A時(shí)，以物體A和動(dòng)滑輪的整體為研究對(duì)象，受力分析如圖甲所示．以動(dòng)滑輪P為研究對(duì)象，受力分析如圖乙所示．
勻速提升物體B時(shí)，以物體B和動(dòng)滑輪的整體為研究對(duì)象，受力分析如圖丙所示．以動(dòng)滑輪P為研究對(duì)象，受力分析如圖丁所示．

由圖甲、乙得：
2F₁′=G_A+G_動(dòng)，2F₁=F₁′′+G_動(dòng)，
因?yàn)镕₁′′=F₁′
所以F₁=

GA+3G動(dòng)

4

   ①，
由圖丙、丁得：
2F₂′=G_B+G_動(dòng)    2F₂=F₂′′+G_動(dòng)
因?yàn)镕₂′′=F₂′
所以F₂=

GB+3G動(dòng)

4

   ②，
由①②得

F1

F2

=

GA+3G動(dòng)

GB+3G動(dòng)

    ③，
由題中W-t圖象可知：P₁=

W1

t1

=90W，P₂=

W2

t2

=45W，
由

P1

P2

=

F1v1

F2v2

，υ₁=4υ₂，解得：

F1

F2

=

1

2

  ④，
由③④解得：G_B=2G_A+3G_動(dòng) ⑤，
由解得：

GA

GB

=

mAg

mBg

=

mA

mB

=

1

3

   ⑥，
由⑤⑥解得：G_A=3G_動(dòng)，G_B=9G_動(dòng)，
則

G動(dòng)

GB

=

1

9

；
（2）η_A=

W有A

W總A

=

GAh

GAh+G動(dòng)h+G動(dòng)×2h

=

GA

GA+3G動(dòng)

=

3G動(dòng)

3G動(dòng)+3G動(dòng)

=50%，
η_B=

W有B

W總B

=

GBh

GBh+G動(dòng)h+2G動(dòng)h

=

9G動(dòng)

9G動(dòng)+3G動(dòng)

=75%，
機(jī)械效率η_B與η_A之比

ηA

ηB

=

50%

75%

=

2

3

；
答：（1）動(dòng)滑輪P的重力與物體B的重力之比為1：9；
（2）機(jī)械效率η_B與η_A之比為2：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求動(dòng)滑輪與物體重力之比、滑輪組的效率之比，難度較大，是一道難題，對(duì)物體正確進(jìn)行受力分析，應(yīng)用平衡條件、滑輪組公式、效率公式，即可正確解題．