Question

3．演繹式探究--探索宇宙：
（1）牛頓認(rèn)為，宇宙中任何兩個(gè)物體之間都存在引力，引力大小F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$，其中m₁、m₂分別為兩個(gè)物體的質(zhì)量，r為兩個(gè)物體間的距離，k=6.67×l0^-11m³/（kg•s²）．可見，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離增大時(shí)，它們之間的引力將變變�。�
用線繩拴著一個(gè)小球使它以手為圓心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩子對(duì)小球有一個(gè)向圓心拉的力，這個(gè)力叫做向心力．這是小球得以繞圓心做圓周運(yùn)動(dòng)的條件．宇宙中的星體也是如此：
行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖），行星受到一個(gè)恒定的指向圓心（恒星）的向心力，向心力的大小F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，其中m為行星質(zhì)量，v為行星繞恒星勻速運(yùn)動(dòng)的速度，r為運(yùn)動(dòng)半徑（即兩星之間的距離）．并且，向心力的大小等于母星對(duì)它的引力F_引．
（2）已知月球繞地球一周所用的時(shí)間為T，地月之間的距離為r，請(qǐng)你推導(dǎo)出地球質(zhì)量M的數(shù)學(xué)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判斷兩個(gè)物體間的距離增大時(shí)，它們間的引力如何變化．
（2）現(xiàn)推導(dǎo)出速度v與周期T的關(guān)系，代入向心力公式，然后由萬有引力公式與向心力公式列方程，解方程即可求出地球質(zhì)量M的表達(dá)式．

解答 解：
（1）由F_引=k$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$知：當(dāng)兩個(gè)物體間的距離r增大時(shí)，它們之間的引力將變�。�
（2）向心力F_心=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{（\frac{s}{T}）^{2}}{r}$=m $\frac{（2πr）^{2}}{r{T}^{2}}$=m $\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，設(shè)月球質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，
月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由地球?qū)υ虑虻娜f有引力提供，
即：$\frac{kmM}{{r}^{2}}$=m $\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$r，
所以M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{k{T}^{2}}$．
答：
（1）變小；
（2）地球質(zhì)量的表達(dá)式為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{k{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 這是一道信息給予題，認(rèn)真審題，充分理解題意，由題干獲取足夠的信息是解題的關(guān)鍵．