Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有兩個實根，且兩實根的平方和為10．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）-2m=0在區(qū)間[0，3]內有根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，所以結合題意可得a=1，b=-4，c=3，進而得到函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可得：函數(shù)的單調性，結合方程f（x）=2m有解可得-1≤2m≤3，進而求出m的范圍．

解答：解：（1）由題意可得：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
所以

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-

b

a

)2-2×

c

a

根據(jù)題意可得：

- b 2a =2 c=3 ( b a )2- 2c a =10

?

a=1 b=-4 c=3

所以函數(shù)的解析式為f（x）=x²-4x+3．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質可得：f（x）在（0，2）為減函數(shù)，（2，3）為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（0）=3．
∴f（x）∈[-1，3]．
由f（x）=2m
所以-1≤2m≤3，即-

1

2

≤m≤

3

2

，
實數(shù)m的取值范圍為-

1

2

≤m≤

3

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握求函數(shù)解析式的方法，以及二次函數(shù)的有關性質．