Question

設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f(x+4)=f(x)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝()^x－1，若在區(qū)間(－2，6]內(nèi)關于x的方程f(x)－log_a(x＋2)＝0(a＞1)恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是

A．(1,2)             B．(2，＋∞)         C．(1,)          D．(,2)

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：由已知中可以得到函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4．又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=（ ）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個不同的交點，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=3，則有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

＜a＜2，故答案為 D

考點：函數(shù)的零點

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．