Question

【題目】（1）如圖甲所示，直角三角板的AB邊緊靠墻壁，已知，，且，現(xiàn)今A點沿墻壁向O點運動，B點沿地面遠離O點運動，直至AB與地面重合，求C點經(jīng)過的路程。

（2）現(xiàn)將三角板換成量角器，量角器半徑為R，開始時量角器的直徑緊貼豎直墻壁，其運動方式與三角板的運動方式類同，最后它的直徑與水平面相貼，求量角器倒下時掃過的面積。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

解析1．作出任意時刻三角板所處的位置如圖乙所示，并將其置于坐標系中，其中x軸水平向右，y軸豎直向上，O點為墻角。設該時刻AC邊與水平線的夾角為，，連接OC。

因為，，由此可以推出四邊形AOBC有外切圓。

因同一個圓的同一段弧所對的圓周角必相等，故，很顯然，三角板的一個角是定值，得是一定值，這表明C僅在與地面夾角為的直線上運動，相對于某一瞬時的可求出，

。

因，，

其中是從到0再到的一個連續(xù)變化，所以

，

。

因此

。

2．由1的討論，易知C點離O點最遠的情形，即該直角三角形ABC，在整個過程中C點所能達到的最遠處為，顯然。因此，對直徑為2R的量角兩器應有。如圖丙所示。所以量角器邊緣上各點能達到的最遠的地方都是在離O點2R的地方。因此，量角器倒下時掃過的面積為

。