Question

【題目】如圖所示，在一光滑水平圓桌面上有兩個質(zhì)量、電荷都均勻分布的介質(zhì)球，兩球半徑均為a，A球質(zhì)量為m，所帶電荷量為Q，B球質(zhì)量為4m，所帶電荷量為．在初始時刻，兩球球心距為4a，各有一定的初速度，以使得兩球在以后的運動過程中不發(fā)生碰撞，且都不會從圓桌面掉落．現(xiàn)要求在此前提下盡量減小桌面面積，試求：

（1）兩球初速度的方向和大小；

（2）圓桌面的最小半徑．

假設(shè)兩球在運動過程中，其所帶電荷量始終保持均勻分布：桌面也不發(fā)生極化效應(yīng)．已知兩個均勻帶電球之間的靜電相互作用力，等于電荷集中在球心的兩個點電荷之間的相互作用力；靜電力常量為．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）（2）要使兩小球在桌面上不掉下來，則兩小球的質(zhì)心在桌面上不能移動。

初始時刻，質(zhì)心在兩球球心的連線上，與A球球心和B球球心的距離分別是

，

在此后的運動中，兩球的球心到質(zhì)心的距離比保持不變．

依題意，兩球之間的庫侖力為．

在質(zhì)心系中，用和必分別表示質(zhì)心到A球球心和B球球心方向上的單位矢量，則A、B兩球的運動方程分別是

，

上述兩式表明，A、B兩球在質(zhì)心系中均做橢圓運動．

為了使兩球的運動軌道覆蓋盡量小的面積，球心距的初始值4a應(yīng)該是它的最大值；而不相碰則表明其最小值應(yīng)為2a，所以，初始時，A、B兩球分別處于其橢圓軌道的遠(yuǎn)點，與質(zhì)心的距離分別為和，A、B兩球分別處于其橢圓軌道的近點時，易得與質(zhì)心的距離分別為和。

由此可知：

A球橢圓軌道的半長軸和半短軸分別是

，

．

B球橢圓軌道的半長軸和半短軸分別是

由于質(zhì)心不動，則任意時刻均有，且方向相反。

由于初始時刻兩球相距最遠(yuǎn)，則兩球球心的速度必垂直于兩球球心的連線，若設(shè)B球的初速度為，則A球的初速度；同理，當(dāng)兩球相距最近時，B球和A球的速度分別為和，方向亦垂直于兩球球心連線．

由角動量守恒有

由此得

由能量守恒得

解得，

另外，由前面的分析計算可知，最小的圓桌面范圍由A球的運動劃定，在質(zhì)心系中，它的軌道是以質(zhì)心為力心、半長軸與半短軸分別為、的橢圓，所以，兩均不會從桌面上落下的圓桌面最小半徑為．