Question

【題目】如圖甲所示，一人做射靶游戲，為使每次槍彈都擊中在靶面的同一條水平線上，則每次射擊的瞄準點必須在靶面同一圓周上，試加以證明。（已知水平線離地面高度為h，槍與靶相距為d，子彈發(fā)射速率為）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖乙（此圖在題圖的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)換了一個方位）建立坐標系，O點為子彈發(fā)射點，軸垂直墻面（yz平面），軸與墻交于點。，y軸豎直向上，z軸與墻面平行，并水平指向。

拋體運動原本是在通過拋射點的一個豎直平面內(nèi)的平面運動，它可以用兩個直線運動描述。本問題討論的是子彈在通過拋射點的不同豎直平面內(nèi)的運動，必須在三維空間中加以討論。但是，每次拋射，子彈仍在一個平面內(nèi)適動。

任意取一個過O點的豎直拋射平面，其與地面交線取作軸，它與墻面交于點D，，如圖乙所示。若墻上瞄準點為B，子彈擊中墻平面上直線MN上的A點。設(shè)B點坐標為，因墻平面上各點的x坐標均為d。題中要求寫出滿足條件的y與x之間的函數(shù)關(guān)系。

我們把子彈的拋體運動分解為以速度為的勻速直線運動和沿豎直方向的自由落體運動，且子彈擊中直線MN上的A點。利用子彈勻速地從O點到B點的時間等于從B點自由落體到A點的時間，寫出方程，

即。

將此式兩邊平方，再整理得到

。

這就是為擊中墻上水平線MN，要求槍在墻上的瞄準點所滿足的關(guān)系。這是一個圓方程，圓心坐標為，圓半徑為。

圖丙中畫出了墻平面上的直線MN和瞄準點構(gòu)成的圓。

能夠看出：

ⅰ.一般情況下，同一個擊中點A，對應(yīng)有兩個瞞準點和，即對應(yīng)兩個拋射角。因此，為使墻上擊中點高于直線MN，在初速相同的情況下，其瞄準點應(yīng)落在圓的內(nèi)部。

ⅱ.當子彈初速、墻與發(fā)射點距離d、墻平面上直線MN高度h一定時，子彈只能擊中此水平線的一部分，即從點到點一段。

ⅲ.瞄準點圓半徑必須滿足。相應(yīng)地，不能太小。代入r的表達式，確定的條件為。