Question

【題目】（1）已知：x∈（0+∞），求證： ；

Answer 1

【答案】證明：不妨令 ，則t∈（0+∞）， = ，

設(shè) ，則f′（t）= ﹣ = ＞0，

∴f（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（t）＞f（0）=0，

∴ ．

即： ．（2）已知：n∈N且n≥2，求證： ．

解：方法一：由（1）知 ，即 ，

∴l(xiāng)n2＞ ，ln ＞ ，ln ＞ ，，ln ＞ ，

以上各式相加得： ，

即得： ．

方法二：當(dāng)n=2時(shí)， ，即左邊＞右邊，命題成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，命題成立，

即 成立，

當(dāng)n=k+1時(shí)

右邊=

由（1）知：令x=k，有 ，即

因此有：左邊=

故，左邊＞右邊，

即，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．

綜上①②，當(dāng)n∈N且n≥2， 成立．

【解析】（1）設(shè) ，令f（t）=ln（t+1）﹣ ，判斷f（t）在（0，+∞）上的單調(diào)性，得出f（t）的值域從而得出結(jié)論；（2）把x=1，2，3，，n﹣1代入（1）的結(jié)論，各式相加即可得出結(jié)論．