Question

【題目】在平面內(nèi)分布著某種透明光學(xué)材料，已知折射率分布，為點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，在距原點(diǎn)處的A點(diǎn)有一點(diǎn)光源，若從此點(diǎn)光源發(fā)出的光在該材料中，沿以為焦點(diǎn)的圓錐曲線傳播，求折射率的分布規(guī)律，已知.

Answer 1

【答案】 其中

【解析】

以為原點(diǎn)，軸為極軸建立極坐標(biāo).將平面以極點(diǎn)為中心，分成一個(gè)個(gè)同心薄圓環(huán)，寬度，如圖所示，則每個(gè)圓環(huán)區(qū)城內(nèi)的折射率相同，由折射定律有

，

，

，

根據(jù)正弦定理，又有.

由以上各式可以得出，

即常數(shù)，與角動(dòng)量守恒定律表達(dá)式：常矢量，有相似之處，可將類比于動(dòng)量，則類比于動(dòng)能.

在平方反比引力下，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為.

為總能量，為常數(shù)，且.

勢(shì)能函數(shù)為（為常數(shù)），所以，.

由類比，得到（為常數(shù)）所以，.

令，而，

此時(shí)，A為半長軸，即，

其中軌跡方程為，則.

代入解得，即，其中.

本題同樣是光在非均勻介質(zhì)中的傳播，其軌跡給定為圓錐曲線，其解答是類比法的經(jīng)典之作，讀者應(yīng)認(rèn)真研究.類比思維在處理物理問題中有很高的地位，它要求問題的處理者能清醒地認(rèn)識(shí)到不同領(lǐng)域的問題間存在相同或類似的物理或數(shù)學(xué)規(guī)律，可以將我們所熟悉的方法或結(jié)論遷移到需要研究的領(lǐng)域中.這類思維方法在競賽中有著廣泛的應(yīng)用，讀者可以作相應(yīng)的歸類分析、應(yīng)用。