Question

（Ⅰ）證明：a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）；
（Ⅱ）已知：a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，
求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,反證法與放縮法

專題：證明題,推理和證明

分析：（Ⅰ）可利用分析法，要證a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）成立，只需證其充分條件2（a²+b²+3）≥2ab+2

3

（a+b）成立，只需證下一個充分條件成立，…，直到其充分條件顯然成立為止；
（Ⅱ）利用反證法，假設(shè)a≤0，b≤0，且c≤0，則a+b+c≤0，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾，從而推翻假設(shè)，肯定原結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）證明：要證a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）成立，
只要證：2（a²+b²+3）≥2ab+2

3

（a+b）；
即證：（a²+b²-2ab）+（a²+3-2

3

a）+（b²-2

3

b+3）≥0；
即證：（a-b）²+(a-

3

)2+(b-

3

)2≥0，
而上式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

3

時取“=”，故原結(jié)論成立．
（Ⅱ）證明：假設(shè)a≤0，b≤0，且c≤0，則a+b+c≤0，
而a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0，與a+b+c≤0矛盾，
故假設(shè)不成立，
所以原結(jié)論成立，即a，b，c中至少有一個大于0．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，著重考查分析法與反證法的應(yīng)用，考查推理論證能力，屬于中檔題．