Question

【題目】半徑為r的管子里裝有密度為的疏松物質(zhì)。恒力F作用在輕塞上，當(dāng)活塞在管里移動時，物質(zhì)稠密到密度為（如圖所示）。如果稠密以突變方式進行，即在管里仿佛有一個“分界面”以某一速度移動，該面右側(cè)密度為，左側(cè)密度為，那么活塞將以多大速度運動？設(shè)開始時“分界面”與活塞面重合。

Answer 1

【答案】

【解析】

我們將認為管子足夠長，不同密度區(qū)域的界面遠離圓柱管端。于是作用在管內(nèi)物質(zhì)的唯一水平力是力F，所以管內(nèi)物質(zhì)動量的變化等于這個力的沖量。

參與運動的每一部分物質(zhì)以界面速度運動。用u表示這個速度，v表示活塞的速度。時間內(nèi)活塞移動距離，位于體積內(nèi)部分物質(zhì)發(fā)生運動，并且這部分物質(zhì)密度等于（密度為，其余部分物質(zhì)運動速度也為u）。因為每一部分物質(zhì)速度均為u，所以在時間內(nèi)物質(zhì)微粒具有的動量等于。根據(jù)運量定律，有

。 ①

顯然，速度u與v有關(guān)系。由質(zhì)量守恒條件可知，當(dāng)活塞運動時在體積內(nèi)物質(zhì)的質(zhì)量應(yīng)該按體積分布，并且這里它具有密度。所以

。

由此。 ②

將②式代入①式中，得到

，。