Question

【題目】如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為，半徑為的均勻圓盤在光滑水平面內(nèi)以速度沿方向平動(dòng)，圓盤中心至軸的垂直距離為.圓盤與另一靜止的、其中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)的均勻圓盤相碰.圓盤的質(zhì)量與相同，半徑為.假定碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量（垂直于連心線方向的速度）相等，并假設(shè)碰撞前后兩盤沿連心線方向的相對速度大小不變.在發(fā)生碰撞的情況下，試求：

（1）碰后兩圓盤質(zhì)心速度的分量和分量，結(jié)果要以給定的參量、、、和表示；

（2）碰后兩圓盤的動(dòng)能，結(jié)果要以給定的參量、、、和表示.

Answer 1

【答案】（1）；.

其中，.

（2），.

【解析】

（1）如圖乙所示，設(shè)碰撞時(shí)兩圓盤質(zhì)心連線與軸成角，由幾何關(guān)系可知，對系統(tǒng)，在法向與切向動(dòng)量均守恒，即

，①

.②

式中，、、、是、盤碰撞后沿切向與徑向的質(zhì)心速度，系統(tǒng)對點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，即

.③

該式中，，，、為兩盤碰撞后的角速度.

注意碰撞后盤既有轉(zhuǎn)動(dòng)又有平動(dòng)，對點(diǎn)的動(dòng)量矩由兩部分組成，而盤質(zhì)心在點(diǎn)，故角動(dòng)量僅為

.

根據(jù)兩盤接觸處切向速度相同，有

.④

根據(jù)兩盤法向相對速度不變，有

.⑤

對盤，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩原理，摩擦力的作用是

,.

即有.⑥

由上述六個(gè)方程解得

，；

，；

，.

兩盤碰后質(zhì)心速度的分量為

；

.

兩盤碰后質(zhì)心速度的分量為

；

.

其中，.

（2）各圓盤的動(dòng)能，是各盤質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能與圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，由此可得

，

.

本題中碰撞的是盤而不是通常情況下的球，這種模型的變化并不代表適用規(guī)律的變化.

本題情景簡言之，是質(zhì)量相同的運(yùn)動(dòng)圓盤與靜止圓盤在水平面上發(fā)生非彈性斜碰.碰撞前后，質(zhì)心動(dòng)量守恒——系統(tǒng)不受外力；對點(diǎn)的角動(dòng)量守恒——外力沖量矩為零；動(dòng)能不守恒——碰撞后兩圓盤接觸處的切向速度分量相等，必有摩擦力存在，動(dòng)能有損失.

本題給出諸多的附加條件，除了根據(jù)動(dòng)量守恒與角動(dòng)量守恒列出基本方程外，還須根據(jù)附加條件給出足夠的補(bǔ)充方程，并適當(dāng)選用速度分量，方可最終得解.

同學(xué)們應(yīng)該注意到，只要在碰撞中不滿足動(dòng)能守恒，必然會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的附加條件，這時(shí)附加條件便是用作方程補(bǔ)充的，從而完成求解.