Question

【題目】近代的材料生產(chǎn)和微加工技術(shù)，可制造出一種使電子的運(yùn)動(dòng)限制在半導(dǎo)體的一個(gè)平面內(nèi)（二維）的微結(jié)構(gòu)器件，且可做到電子在器件中像子彈一樣飛行，不受雜質(zhì)原子散射的影響．這種特點(diǎn)可望有新的應(yīng)用價(jià)值．圖甲所示為四端十字形．二維電子氣半導(dǎo)體，當(dāng)電流從1端進(jìn)入時(shí)，通過(guò)控制磁場(chǎng)的作用，可使電流從2，3或4端流出．對(duì)下面模擬結(jié)構(gòu)的研究，有助于理解電流在上述四端十字形導(dǎo)體中的流動(dòng)．在圖乙中，、、、為四根半徑都為的圓柱體的橫截面，彼此靠得很近，形成四個(gè)寬度極窄的狹縫1、2、3、4，在這些狹縫和四個(gè)圓柱所包圍的空間（設(shè)為真空）存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面指向紙內(nèi)．以表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．一個(gè)質(zhì)量為、電荷量為的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)以速度沿與、都相切的方向由縫1射入磁場(chǎng)內(nèi)，設(shè)粒子與圓柱表面只發(fā)生一次碰撞，碰撞是彈性的，碰撞時(shí)間極短，且碰撞不改變粒子的電荷量，也不受摩擦力作用．試求為何值時(shí)，該粒子能從縫2處且沿與、都相切的方向射出？

Answer 1

【答案】

【解析】

在圖中紙面內(nèi)取坐標(biāo)（如圖丙所示），原點(diǎn)在狹縫1處，軸過(guò)縫1和縫3．粒子從縫1進(jìn)入磁場(chǎng)，在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道在原點(diǎn)與軸相切，故其圓心必在軸上．若以表示此圓的半徑，則圓方程為．

根據(jù)題目要求和對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)與的柱面相碰于縫3、4間的圓弧中點(diǎn)處，碰撞處的坐標(biāo)為

，，解得．

由洛侖茲力和牛頓定律有，所以，．

本題是第26屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題．

帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是常規(guī)教學(xué)中訓(xùn)練最多的題型之一．解答此類問(wèn)題，要求答題者具備較強(qiáng)的幾何認(rèn)知能力，對(duì)帶電粒子的各種圓軌跡的形態(tài)、邊界、圓心位置的確定、半徑的計(jì)算等，能做到熟練應(yīng)對(duì)．

遺憾的是，在常規(guī)教學(xué)中對(duì)軌跡的討論幾乎都局限在平面內(nèi)進(jìn)行，而在競(jìng)賽中往往又會(huì)出現(xiàn)空間特性，要求更高．