Question

【題目】我國(guó)在1971年發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星在以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)。已知衛(wèi)星近地點(diǎn)高度為，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度為，衛(wèi)星經(jīng)過(guò)近地點(diǎn)時(shí)速率為，試求衛(wèi)星通過(guò)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)的速度和衛(wèi)星運(yùn)行周期。計(jì)算中取地球半徑，空氣阻力不計(jì)。

Answer 1

【答案】,

【解析】

如圖所示，因?yàn)樾l(wèi)星所受地球引力的作用線通過(guò)地球中心，所以衛(wèi)星對(duì)地球中心的角動(dòng)量守恒。

已知在衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)徑矢的大小為

.

在遠(yuǎn)地點(diǎn)徑矢的大小為

.

設(shè)衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度為，因遠(yuǎn)、近地點(diǎn)的速度與該處徑矢垂直，由動(dòng)量守恒定律可得

.

由此得 .

求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T。

由開(kāi)普勒第二定律可知

。

由幾何關(guān)系知，橢圓面積為，其中a、b分別為橢圓的半長(zhǎng)、短軸，它們可由遠(yuǎn)、近地點(diǎn)的徑矢求出：

.

又衛(wèi)星的矢徑的面積速度為，代入計(jì)算周期公式，得

，

即衛(wèi)星運(yùn)行周期約為1小時(shí)46分。