Question

【題目】在焦距為20.00cm的薄凸透鏡的主軸上離透鏡中心30.00cm處有一小發(fā)光點S，一個厚度可以忽略的光楔C（頂角α很小的三棱鏡）放在發(fā)光點與透鏡之間，垂直于主軸，與透鏡的距離為2.00cm，如圖所示。設光楔的折射率，楔角。在透鏡另一側離透鏡中心46.25cm處放一平面鏡M，其反射面向著透鏡并垂直于主軸。問最后形成的發(fā)光點的像相對發(fā)光點的位置在何處？（只討論近軸光線，小角度近似適用。在分析計算過程中應作必要的光路圖。）

Answer 1

【答案】像點在發(fā)光點S左側光軸上方，到光軸的距離為0.55cm，其在光軸上的垂足到S的距離為22.00cm。

【解析】

這是一個光具成像問題，厚度可忽略的光楔在成像過程中的作用相當于一使光線產生偏折的薄平板，平面鏡使光線反射后再次經(jīng)凸透鏡成像，在這一過程中，我們再根據(jù)折射定律、透鏡成像公式及有關數(shù)學近似進行一系列計算，就可得出最后結果。共有五次成像過程。

（1）光楔使入射光線偏折，其偏向角（出射光線與入射光線方向的夾角）用表示，由圖可知

,

，。

對近軸光線，很小，有；

因α也很小，同樣有。

故有

。

代入數(shù)值，得。

因與入射角大小無關，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路圖時可畫成一使光線產生偏折角的薄平板，如圖。

光點S經(jīng)光楔成一虛像點。對近軸光線，在S正上方，到S的距離為h，離光楔距離。

代入數(shù)據(jù)，得。

（2）為透鏡L的實物，像點的位置可由下式求出

。

以，代入，得。

將視為與光軸垂直的小物，由透鏡的放大率公式有

可求得。

即像點在光軸下方與光軸的距離為0.78cm，與透鏡的中心距離為60.00cm處，如圖所示。

（3）在平面鏡之后，對平面鏡是虛物，經(jīng)平面鏡成像，像點與對稱于平面鏡（圖示）。，。

（4）作為透鏡的實物，經(jīng)透鏡折射后再次成像，設像點，及與L的距離分別為和，則，。

在透鏡左側，主軸上方，如圖所示。

。

5．第二次經(jīng)透鏡折射后成像的光線還要經(jīng)光楔偏折，再次成像，像點在正下方，離光楔距離為50cm，離光軸的距離為（如圖所示）。

，

。

像點在光軸上的垂足與S的距離為

。

即最后的像點在發(fā)光點S左側光軸上方，到光軸的距離為0.55cm，其在光軸上的垂足到S的距離為22.00cm。