Question

【題目】十九大報(bào)告中提出“廣泛開(kāi)展全民健身活動(dòng)，加快推進(jìn)體育強(qiáng)國(guó)建設(shè)”．為了響應(yīng)號(hào)召，提升學(xué)生訓(xùn)練興趣，某中學(xué)自編“功夫扇”課間操．若設(shè)最外側(cè)兩根大扇骨形成的角為∠COD，當(dāng)“功夫扇”完全展開(kāi)時(shí)∠COD=160°．在扇子舞動(dòng)過(guò)程中，扇釘O始終在水平線(xiàn)AB上．

小華是個(gè)愛(ài)思考的孩子，不但將以上實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還在抽象出的圖中畫(huà)出了∠BOC 的平分線(xiàn)OE，以便繼續(xù)探究．

（1）當(dāng)扇子完全展開(kāi)且一側(cè)扇骨OD呈水平狀態(tài)時(shí)，如圖1所示．請(qǐng)?jiān)诔橄蟪龅膱D2中畫(huà)出∠BOC 的平分線(xiàn)OE，此時(shí)∠DOE的度數(shù)為 ；

（2）“功夫扇”課間操有一個(gè)動(dòng)作是把扇子由圖1旋轉(zhuǎn)到圖3所示位置，即將圖2中的∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖4所示位置，其他條件不變，小華嘗試用如下兩種方案探究了∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系．

方案一：設(shè)∠BOE的度數(shù)為x．

可得出，則.

，則.

進(jìn)而可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系．

方案二：如圖5，過(guò)點(diǎn)O作∠AOC的平分線(xiàn)OF．

易得，即.

由，可得.

進(jìn)而可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系．

參考小華的思路可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關(guān)系為 ；

（3）繼續(xù)將扇子旋轉(zhuǎn)至圖6所示位置，即將∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖7所示的位置，其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)（2）中結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）；（3）不成立

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意畫(huà)出角平分線(xiàn)，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義進(jìn)行求解即可；

（2）結(jié)合圖形完成題中所給兩個(gè)方案的過(guò)程即可得；

（3）不成立，按（2）中的兩個(gè)方案進(jìn)行驗(yàn)證即可得.

試題解析：（1）如圖1，

∵OE平分∠COD，∠COD=160°，

∴∠DOE=∠COD=80°，

故答案為：80°；

（2）方案一：設(shè)∠BOE的度數(shù)為x，

∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2x，

∴，則，

，則，

∴= ，

∴；

方案二：如圖5，過(guò)點(diǎn)O作∠AOC的平分線(xiàn)OF，

∵OE平分∠BOE，OF平分∠AOC，∴∠COE=∠BOC，∠COF=∠AOC，

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠COE+∠COF=90°，即，即 ，

∵，∴，

∴ ，

故答案為： ；

（3）不成立．

理由如下：

方法一：設(shè)∠BOE的度數(shù)為x．

可得出，則.

，則．

所以．

方法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)O作∠AOC的平分線(xiàn)OF．

易得，即.

由，可得.

所以.