Question

已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng)（是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)h（x）在[2，3]上是減函數(shù)，可得到其導(dǎo)函數(shù)在[2，3]上小于等于0應(yīng)該恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍；（2）先假設(shè)存在，然后對(duì)函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當(dāng)a=e2能夠保證當(dāng)x∈（0，e]時(shí)g（x）有最小值3；（3）結(jié)合（2）知的最小值為3，只須證明即可，令，則在上單調(diào)遞增，∴的最大值為 故，即得證.

【解析】
（1）令，則，

（1分））∵在上是減函數(shù)，

∴在上恒成立，即在上恒成立 （2分）

而在上是減函數(shù)，∴的最小值為

（4分）

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值是3，∵，

若，則，∴在上為減函數(shù)，的最小值為

∴與矛盾， （5分）

若時(shí)，令，則

當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，解得 （7分）

當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減

∴與矛盾， （9分）

（3）∵，由整理得， （10分）

而由（2）知 的最小值為3，只須證明即可 （11分））

令，則在上單調(diào)遞增，

∴的最大值為（12分）

故，即 （14分）

（接11分處另解， 即證，即證，

令，則，求得從而得證）.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．