Question

設函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a是實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），f（x）在（

1

e

，2e）內存在兩個極值點x₁，x₂，x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意的λ₁，λ₂∈[x₁，x₂]，|f（λ₁）-f（λ₂）|＜m恒成立，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）根據(jù)極值的定義可得f′(x)=

ax2-2x+a

x2

=0即ax²-2x+a=0在(

1

e

，e)上有兩個不相等的實數(shù)根，即可得出結論．
（Ⅱ）把恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求的函數(shù)的最大值及最小值即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

ax2-2x+a

x2

=0則：-------------------------------（2分）
ax²-2x+q=0在(

1

e

，e)上有兩個不相等的實數(shù)根．a=0時不成立⇒a≠0

2

a

=x+

1

x

，如圖可得：2＜

2

a

＜e+

1

e

=

1+e2

e

∴

2e

1+e2

＜a＜1---------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（1）得：

1

e

＜x1＜1，1＜x2＜ef′(x)=

a(x-x1)(x-x2)

x2

f（x）在（0，x₁）上遞增，在[x₁，x₂]上遞減，在（x₂，+∞上遞增．
x∈[x₁，x₂]時，f（x_x）≤f（x）≤f（x₂）λ₁，λ₂∈[x₁，x₂]時，
|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=|f（x₁）-f（x₂）|-------------------------（8分）
f(x1)-f(x2)=a(x1-

1

x1

)-2lnx1-[a(x2-

1

x2

)-2lnx2]
又x1+x2=

2

a

，x1x2=1⇒x2=

1

x1

，a=

2x1

x12+1

∴f(x1)-f(x2)=2a(x1-

1

x1

)-4lnx1=2•

2x1

x12+1

•

x12-1

x1

-4lnx1=

4(x12-1)

x12+1

-4lnx1-----（12分）
設g（x₁）=|f（x₁）-f（x₂）|=

4(x12-1)

x12+1

-4lnx1，x1∈(

1

e

，1)，
則：g′(x1)=

16x1

(x12+1)2

-

4

x1

=

-4(x12-1)2

(x12+1)2x1

＜0⇒g（x₁）在x1∈(

1

e

，1)上遞減，故g(x1)＜g(

1

e

)=

4( 1 e2 -1)

1 e2 +1

+4=4(

1-e2

1+e2

+1)=

8

1+e2

∴m≥

8

1+e2

，即m的最小值為

8

1+e2

．--------------------------------（15分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及最值知識，考查學生轉化思想及數(shù)形結合思想的運用能力，考查學生的運算求解能力，屬難題．