若a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）對于任何的非零實數(shù)x都有f(
1
x
)=af(x)-x-1，且f（1）=1，則函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范圍是______．
∵函數(shù)f（x）滿足f(
1
x
)=af(x)-x-1，（x≠0）
∴以
1
x
代替x，得f(x)=af(
1
x
)-
1
x
-1，
兩式聯(lián)解，得(a2-1)f(x)=ax+
1
x
+a+1
∵f（1）=1，∴令x=1，得a2-1=a+1+a+1，解之得a=3或-1（-1不符合題意，舍去）
因此，f（x）=
3x
8
+
1
8x
+
1
2
，不等式f（x）≥x即
3x
8
+
1
8x
+
1
2
≥x
化簡得5x2-4x-1≤0，解之得-
1
5
≤x≤1
∴集合D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}=（0，1]
而F（x）=f（x），即F（x）=
3x
8
+
1
8x
+
1
2
，x∈（0，1]
∵x＞0，可得
3x
8
+
1
8x
≥2
3x
8
×
1
8x
=
3
4

∴F（x）=
3x
8
+
1
8x
+
1
2
的最小值為
1
2
+
3
4
，當且僅當
3x
8
=
1
8x
=
3
8
，即x=
3
3
時取最小值
綜上所述，F(xiàn)（x）=
3x
8
+
1
8x
+
1
2
，x∈（0，1]的最小值是f（
3
3
）=
1
2
+
3
4
，沒有最大值．
∴函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D}）的取值范圍是[
1
2
+
3
4
，+∞)
故答案為：[
1
2
+
3
4
，+∞)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實常數(shù)）．
（1）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•上海）設(shè)a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=9x+
a2
x
+7．若f（x）≥a+1對一切x≥0成立，則a的取值范圍為
a≤-
8
7
．
a≤-
8
7
．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）對于任何的非零實數(shù)x都有f(
1
x
)=af(x)-x-1，且f（1）=1，則函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范圍是
[
1
2
+
3
4
，+∞)
[
1
2
+
3
4
，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年遼寧省丹東市寬甸二中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

若a是實常數(shù)，函數(shù)f（x）對于任何的非零實數(shù)x都有，且f（1）=1，則函數(shù)F（x）=f（x）（x∈D={x|x∈R，x＞0，f（x）≥x}）的取值范圍是    ．

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