Question

用定義證明函數(shù)f(x)=x+

2+x

在其定義域上的單調(diào)性，并求函數(shù)在[2，7]上的最值．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，首先在所給區(qū)間上任設(shè)兩個數(shù)并規(guī)定大小，然后通過作差法分析獲得兩數(shù)對應(yīng)函數(shù)值之間的大小關(guān)系即可；利用單調(diào)性，可求函數(shù)在[2，7]上的最值．

解答：證明：函數(shù)f(x)=x+

2+x

的定義域為[-2，+∞），…（2分）
設(shè)任意x₁，x₂∈[-2，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，…（3分）
所以f（x₁）-f（x₂）=x1+

2+x1

-x2-

2+x2

=(x1-x2)+

2+x1

-

2+x2

=(x1-x2)+

x1-x2

2+x1 + 2+x2

＜0…（7分）
所以函數(shù)f(x)=x+

2+x

在其定義域上是增函數(shù)．…（8分）
所以函數(shù)在[2，7]上的最大值為f(7)=7+

2+7

=10，…（10分）
函數(shù)在[2，7]上的最小值為f(2)=2+

2+2

=4．…（12分）

點評：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用問題，解答的關(guān)鍵是作差法并化簡．