【題目】已知函數(shù).

（1）求在點處的切線方程；

（2）當時，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在；存在2條公切線

【解析】

（1）計算，根據(jù)曲線在該點處導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，然后計算，利用點斜式，可得結果.

（2）分別構造，通過導數(shù)研究的性質，可得 ，，簡單判斷，可得結果.

（3）分別假設與的切線，根據(jù)公切線，可得，利用導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)，根據(jù)性質可得結果.

解：（1）的定義域

又

所以在點處的切線方程為：.

（2）設，

，

↑

極大值

↓

設則在上恒成立

綜上

（3）曲線與存在公切線，且有2條，理由如下：

由（2）知曲線與無公共點，

設分別切曲線與于，則

，

若，即曲線與有公切線，則

令，

則曲線與有公切線，當且僅當有零點，

，

當時，，在單調(diào)遞增，

當時，，在單調(diào)遞減

，

所以存在，使得

且當時，單調(diào)遞增，

當時，單調(diào)遞減

，

又

所以在內(nèi)各存在有一個零點

故曲線與存在2條公切線.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的曲線圖是2020年1月25日至2020年2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例的曲線圖，則下列判斷正確的是（ ）

A.1月31日陜西省新冠肺炎累計確診病例中西安市占比超過了

B.1月25日至2月12日陜西省及西安市新冠肺炎累計確診病例都呈遞增趨勢

C.2月2日后到2月10日陜西省新冠肺炎累計確診病例增加了97例

D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累計確診病例的增長率大于2月6日到2月8日的增長率

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求在點處的切線；

（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

（3）求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）證明：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的方程；

（2）若，函數(shù)在上為增函數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；

(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面平面，且，，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某苗木基地常年供應多種規(guī)格的優(yōu)質樹苗.為更好地銷售樹苗，建設生態(tài)文明家鄉(xiāng)和美好家園，基地積極主動地聯(lián)系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的購買合同的概率分別、、，且基地是否得到三家公司的購買合同是相互獨立的.

（1）若公司甲計劃與基地簽訂300棵銀杏實生苗的銷售合同，每棵銀杏實生苗的價格為90元，栽種后，每棵樹苗當年的成活率都為0.9，對當年沒有成活的樹苗，第二年需再補種1棵.現(xiàn)公司甲為苗木基地提供了兩種售后方案，

方案一：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地需提供一年一次，共計兩年的補種服務，且每次補種人工及運輸費用平均為800元；

方案二：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地一次性地多給公司甲60棵樹苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行負責.

若基地首次運送方案一的300棵樹苗及方案二的360棵樹苗的運費及栽種費用合計都為1600元，試估算兩種方案下苗木基地的合同收益分別是多少？

（2）記為該基地得到三家公司購買合同的個數(shù)，若，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（）．

（Ⅰ）判斷當時的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，（）為兩個極值點，求證：．

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